Квадратна функция и парабола - трудни задачи с решения

Решение:
Свободният член на [tex]f(x+k)[/tex] е стойността ѝ при [tex]x=0[/tex], т.е. [tex]f(k)[/tex]. Следователно [tex]k[/tex] трябва да удовлетворява
[tex]4k^2+15k-4=0,\quad D=225+64=289,\quad k=\frac{-15\pm 17}{8}[/tex]
т.е. [tex]k=\frac{1}{4}[/tex] или [tex]k=-4[/tex]. По-малката стойност е [tex]k_1=-4[/tex] и
[tex]f(x-4)=4(x-4)^2+15(x-4)-4=4x^2-32x+64+15x-60-4=4x^2-17x=x(4x-17)[/tex]
Нулите ѝ са [tex]x=0[/tex] и [tex]x=\frac{17}{4}[/tex], така че пресечните точки са [tex](0; 0)[/tex] и [tex]\left(\frac{17}{4}; 0\right)[/tex].
Проверка: графиката на [tex]f(x-4)[/tex] е графиката на [tex]f[/tex], преместена с [tex]4[/tex] единици надясно, така че нулите [tex]-4[/tex] и [tex]\frac{1}{4}[/tex] на [tex]f[/tex] стават [tex]0[/tex] и [tex]\frac{17}{4}[/tex].

Решение:
Тъй като [tex]x=-1[/tex] е ос на симетрия, [tex]f(x)=a(x+1)^2+n[/tex], където [tex]a\ne 0[/tex]. От [tex]f(0)=a+n=1[/tex] следва [tex]n=1-a[/tex], т.е.
[tex]f(x)=a(x+1)^2+1-a[/tex]
Интервалът [tex]\left[2; 4\right][/tex] лежи вдясно от оста [tex]x=-1[/tex], затова [tex]f[/tex] е монотонна в него. Ако [tex]a\gt 0[/tex], [tex]f[/tex] е растяща в [tex]\left[2; 4\right][/tex] и най-малката ѝ стойност е
[tex]f(2)=9a+1-a=8a+1=-7\Rightarrow a=-1[/tex]
което противоречи на [tex]a\gt 0[/tex]. Ако [tex]a\lt 0[/tex], [tex]f[/tex] е намаляваща в [tex]\left[2; 4\right][/tex] и най-малката ѝ стойност е
[tex]f(4)=25a+1-a=24a+1=-7\Rightarrow a=-\frac{1}{3}\lt 0[/tex]
Следователно
[tex]f(x)=-\frac{1}{3}(x+1)^2+\frac{4}{3}=-\frac{1}{3}x^2-\frac{2}{3}x+1[/tex]
Проверка: [tex]f(0)=1[/tex], [tex]f(4)=-7[/tex] и [tex]f(2)=-\frac{5}{3}\gt -7[/tex].

Решение:
Старшият коефициент е [tex]-3\lt 0[/tex], затова клоните на параболата са насочени надолу: [tex]f[/tex] е растяща в [tex]\left(-\infty; x_0\right][/tex] и намаляваща в [tex]\left[x_0; +\infty\right)[/tex], където
[tex]x_0=-\frac{-a}{2\cdot (-3)}=-\frac{a}{6}[/tex]
Ако [tex]x_0\le -1[/tex], то [tex]\left(-1; 2\right)\subset\left[x_0; +\infty\right)[/tex] и [tex]f[/tex] е намаляваща в интервала. Ако [tex]x_0\gt -1[/tex], то [tex]f[/tex] е растяща в непразната част [tex]\left(-1; \min\left\{x_0; 2\right\}\right)[/tex] на интервала, т.е. не е намаляваща в него. Следователно условието е
[tex]-\frac{a}{6}\le -1\Leftrightarrow a\ge 6[/tex]
При [tex]a=6[/tex] върхът е точно в [tex]x=-1[/tex] и [tex]f[/tex] е намаляваща в [tex]\left[-1; +\infty\right)[/tex], така че [tex]a=6[/tex] също удовлетворява условието. Следователно [tex]a\in\left[6; +\infty\right)[/tex].

Решение:
Абсцисите на общите точки са решенията на уравнението [tex]x^2-2x-3=ax^2[/tex] (на всяко решение съответства точно една обща точка), т.е. на уравнението
[tex](1-a)x^2-2x-3=0[/tex]
При [tex]a=1[/tex] уравнението е линейно: [tex]-2x-3=0[/tex], с единствено решение [tex]x=-\frac{3}{2}[/tex]; има точно една обща точка [tex]\left(-\frac{3}{2}; \frac{9}{4}\right)[/tex].
При [tex]a\ne 1[/tex] уравнението е квадратно и има точно един корен тогава и само тогава, когато дискриминантата му е нула:
[tex]\frac{D}{4}=1+3(1-a)=4-3a=0\Leftrightarrow a=\frac{4}{3}[/tex]
Тогава уравнението е [tex]-\frac{1}{3}x^2-2x-3=0\Leftrightarrow (x+3)^2=0[/tex] и параболите се допират в точката [tex](-3; 12)[/tex]. За всички други стойности на [tex]a[/tex] общите точки са две или няма такива.
Следователно [tex]a\in\left\{1; \frac{4}{3}\right\}[/tex]. Случаят [tex]a=1[/tex] лесно се изпуска, ако се търси само [tex]D=0[/tex].

Решение:
Абсцисите на общите точки удовлетворяват уравнението [tex]f(x)=g(x)[/tex]:
[tex]7x^2-4x-3=0\Leftrightarrow (x-1)(7x+3)=0\Leftrightarrow x=1\text{ или }x=-\frac{3}{7}[/tex]
Тъй като [tex]f(1)=-1[/tex] и [tex]f\left(-\frac{3}{7}\right)=\frac{18}{49}+\frac{6}{7}-1=\frac{11}{49}[/tex], точките са [tex](1; -1)[/tex] и [tex]\left(-\frac{3}{7}; \frac{11}{49}\right)[/tex]. Ъгловият коефициент на правата през тях е
[tex]a=\frac{\frac{11}{49}+1}{-\frac{3}{7}-1}=\frac{\frac{60}{49}}{-\frac{10}{7}}=-\frac{6}{7}[/tex]
а от [tex]-1=a\cdot 1+b[/tex] получаваме [tex]b=-1+\frac{6}{7}=-\frac{1}{7}[/tex].
По-кратък път: в обща точка [tex]y=f(x)=g(x)[/tex], следователно
[tex]7y=5f(x)+2g(x)=10x^2-10x-5-10x^2+4x+4=-6x-1[/tex]
Членовете с [tex]x^2[/tex] се унищожават, затова двете точки лежат на правата [tex]y=-\frac{6}{7}x-\frac{1}{7}[/tex], т.е. [tex]a=-\frac{6}{7}[/tex], [tex]b=-\frac{1}{7}[/tex].

Решение:
При [tex]x[/tex] нови дървета ([tex]x[/tex] е цяло неотрицателно число) дърветата са [tex]30+x[/tex], като всяко дава по [tex]25-0{,}6x[/tex] кг. Реколтата е
[tex]R(x)=(30+x)(25-0{,}6x)=-0{,}6x^2+7x+750[/tex]
Това е парабола с клони, насочени надолу, и връх при
[tex]x_0=\frac{7}{2\cdot 0{,}6}=\frac{35}{6}\approx 5{,}83[/tex]
което не е цяло число. [tex]R[/tex] е растяща при [tex]x\le\frac{35}{6}[/tex], намаляваща при [tex]x\ge\frac{35}{6}[/tex] и симетрична относно [tex]x_0[/tex], затова сред целите числа най-голямата стойност е при най-близкото до [tex]\frac{35}{6}[/tex] цяло число, т.е. при [tex]x=6[/tex] (разстоянието му до [tex]x_0[/tex] е [tex]\frac{1}{6}[/tex], а за [tex]x=5[/tex] то е [tex]\frac{5}{6}[/tex]). Проверка:
[tex]R(5)=35\cdot 22=770; \quad R(6)=36\cdot 21{,}4=770{,}4; \quad R(7)=37\cdot 20{,}8=769{,}6[/tex]
Следователно трябва да се засадят [tex]6[/tex] нови дървета.

Решение:
Тъй като [tex]f(x)=(x-1)^2-1[/tex], уравнението [tex]f(x)=t[/tex] има две решения [tex]x=1\pm\sqrt{t+1}[/tex] при [tex]t\gt -1[/tex], едно решение [tex]x=1[/tex] при [tex]t=-1[/tex] (върха) и няма решения при [tex]t\lt -1[/tex]; на различни стойности на [tex]t[/tex] съответстват различни решения. Ще разсъждаваме отзад напред.
Нека [tex]y_3=f(f(f(c)))[/tex]. Тогава [tex]f(y_3)=3\Leftrightarrow (y_3-1)^2=4[/tex], т.е. [tex]y_3\in\left\{3; -1\right\}[/tex].
Нека [tex]y_2=f(f(c))[/tex]. От [tex]f(y_2)=3[/tex] получаваме [tex]y_2\in\left\{3; -1\right\}[/tex], а от [tex]f(y_2)=-1[/tex] – [tex]y_2=1[/tex], т.е. [tex]y_2\in\left\{3; -1; 1\right\}[/tex].
Нека [tex]y_1=f(c)[/tex]. От [tex]f(y_1)=3[/tex] получаваме [tex]y_1\in\left\{3; -1\right\}[/tex], от [tex]f(y_1)=-1[/tex] – [tex]y_1=1[/tex], а от [tex]f(y_1)=1[/tex] – [tex](y_1-1)^2=2[/tex], т.е. [tex]y_1=1\pm\sqrt{2}[/tex]. Значи [tex]y_1[/tex] приема пет различни стойности:
[tex]y_1\in\left\{3; -1; 1; 1+\sqrt{2}; 1-\sqrt{2}\right\}[/tex]
Накрая решаваме [tex]f(c)=y_1[/tex]: при [tex]y_1=-1[/tex] има едно решение [tex]c=1[/tex], а всяка от останалите четири стойности е по-голяма от [tex]-1[/tex] (тъй като [tex]1-\sqrt{2}\approx -0{,}41\gt -1[/tex]) и дава по две решения. Следователно броят на различните числа [tex]c[/tex] е
[tex]1+4\cdot 2=9[/tex]

Решение:
Имаме [tex]f(-1)=a-b+c[/tex], [tex]f(1)=a+b+c[/tex] и [tex]f(3)=9a+3b+c[/tex]. Тогава
[tex]f(-1)-2f(1)+f(3)=(a-2a+9a)+(-b-2b+3b)+(c-2c+c)=8a[/tex]
От условието [tex]f(-1)\gt -4[/tex], [tex]-2f(1)\gt 0[/tex] и [tex]f(3)\gt 5[/tex]. Като съберем тези неравенства, получаваме
[tex]8a=f(-1)-2f(1)+f(3)\gt -4+0+5=1\Rightarrow a\gt\frac{1}{8}\gt 0[/tex]
Следователно [tex]a\gt 0[/tex], което трябваше да се докаже.