Математическа логика и теория на множествата - задачи с решения

Решение:
Импликацията [tex]p\Rightarrow q[/tex] е невярна само когато [tex]p[/tex] е вярно, а [tex]q[/tex] е невярно.
Обратно-противоположното съждение [tex]\neg q\Rightarrow\neg p[/tex] („улиците не са мокри, следователно не вали дъжд“) е невярно само когато [tex]\neg q[/tex] е вярно, а [tex]\neg p[/tex] е невярно, т.е. отново само когато [tex]p[/tex] е вярно, а [tex]q[/tex] е невярно. Следователно то е еквивалентно на дадената импликация и със сигурност е вярно:
[tex](\neg q\Rightarrow\neg p)\Leftrightarrow(p\Rightarrow q)[/tex]
Обратното съждение [tex]q\Rightarrow p[/tex] и противоположното [tex]\neg p\Rightarrow\neg q[/tex] не следват от даденото: ако [tex]p[/tex] е невярно, а [tex]q[/tex] е вярно (улиците са мокри по друга причина, например са измити), то [tex]p\Rightarrow q[/tex] е вярно, но и [tex]q\Rightarrow p[/tex], и [tex]\neg p\Rightarrow\neg q[/tex] са неверни.
Съждението [tex]\neg q\land p[/tex] е точно отрицанието на [tex]p\Rightarrow q[/tex], затова е невярно:
[tex]\neg(p\Rightarrow q)\Leftrightarrow p\land\neg q[/tex]
Отговорът е [tex]\neg q\Rightarrow\neg p[/tex].

Решение:
Нека [tex]p[/tex] е съждението „Петър е на училище“, а [tex]k[/tex] — съждението „Кирил е на училище“. От отговорите на учителя [tex]p[/tex] е вярно, а [tex]k[/tex] е невярно; записваме [tex]p=1[/tex], [tex]k=0[/tex] ([tex]1[/tex] за вярно, [tex]0[/tex] за невярно). Превеждаме всеки коментар във формула и пресмятаме стойността ѝ:
[tex](1)\quad p\land k=1\land 0=0[/tex]
[tex](2)\quad p\lor k=1\lor 0=1[/tex]
[tex](3)\quad p\Rightarrow k=1\Rightarrow 0=0[/tex]
[tex](4)\quad p\Leftrightarrow k=1\Leftrightarrow 0=0[/tex]
[tex](5)\quad \neg(\neg p)=p=1[/tex]
[tex](6)\quad \neg p\Rightarrow\neg k=0\Rightarrow 1=1[/tex]
[tex](7)\quad \neg p\Leftrightarrow\neg k=0\Leftrightarrow 1=0[/tex]
По законите на Де Морган [tex]\neg(\neg p\land\neg k)=p\lor k[/tex] и [tex]\neg(\neg p\lor\neg k)=p\land k[/tex], следователно
[tex](8)\quad \neg(\neg p\land\neg k)=p\lor k=1[/tex]
[tex](9)\quad \neg(\neg p\lor\neg k)=p\land k=0[/tex]
Тъй като [tex]\neg k=1[/tex]:
[tex](10)\quad \neg(p\Rightarrow\neg k)=\neg(1\Rightarrow 1)=\neg 1=0[/tex]
[tex](11)\quad \neg(p\Leftrightarrow\neg k)=\neg(1\Leftrightarrow 1)=\neg 1=0[/tex]
Верните коментари са [tex](2)[/tex], [tex](5)[/tex], [tex](6)[/tex] и [tex](8)[/tex], т.е. точно [tex]4[/tex] от съжденията са верни.

Решение:
Реалното число [tex]x[/tex] принадлежи на [tex]\bigcap\mathcal{A}[/tex] тогава и само тогава, когато [tex]x\in\left(-a ; a\right)[/tex] за всяко [tex]a\gt 0[/tex], т.е.
[tex]x\in\bigcap\mathcal{A}\iff \forall a\gt 0:\ |x|\lt a[/tex]
За [tex]x=0[/tex] имаме [tex]|0|=0\lt a[/tex] за всяко [tex]a\gt 0[/tex], така че [tex]0[/tex] принадлежи на всеки интервал от фамилията.
Ако [tex]x\ne 0[/tex], избираме [tex]a=|x|\gt 0[/tex]; тогава [tex]|x|\lt a[/tex] не е изпълнено, т.е. [tex]x\notin\left(-|x| ; |x|\right)[/tex], следователно [tex]x\notin\bigcap\mathcal{A}[/tex]. Значи
[tex]\bigcap\mathcal{A}=\{0\}[/tex]
Сечението не е празно, въпреки че интервалите стават произволно къси (за сравнение, обединението на фамилията е [tex]\mathbb{R}[/tex]).

Решение:
В първото множество за цели числа от [tex]x^2+y^2\le 1[/tex] следва [tex]|x|\le 1[/tex] и [tex]|y|\le 1[/tex], като [tex]x[/tex] и [tex]y[/tex] не могат и двете да са различни от нула (тогава [tex]x^2+y^2=2\gt 1[/tex]). Следователно
[tex]\{(x; y)\in\mathbb{Z}^2 : x^2+y^2\le 1\}=\{(0; 0),\ (1; 0),\ (-1; 0),\ (0; 1),\ (0; -1)\}[/tex]
Във второто множество [tex]x^2-y^2=(x-y)(x+y)=1[/tex]. Двата множителя са цели числа, затова или и двата са равни на [tex]1[/tex], или и двата са равни на [tex]-1[/tex]:
[tex]x-y=x+y=\pm 1\ \Rightarrow\ y=0,\ x=\pm 1[/tex]
Това са точките [tex](1; 0)[/tex] и [tex](-1; 0)[/tex], които вече принадлежат на първото множество. Следователно [tex]B[/tex] се състои от изброените по-горе [tex]5[/tex] точки:
[tex]|B|=5[/tex]

Решение:
Разлагаме елементите на [tex]A[/tex] на прости множители:
[tex]9=3^2; \ 10=2\cdot 5; \ 11; \ 12=2^2\cdot 3; \ 13; \ 14=2\cdot 7; \ 15=3\cdot 5; \ 16=2^4[/tex]
Следователно
[tex]f(9)=3; \ f(10)=10; \ f(11)=11; \ f(12)=6; \ f(13)=13; \ f(14)=14; \ f(15)=15; \ f(16)=2[/tex]
Тези [tex]8[/tex] стойности са две по две различни, т.е. различни аргументи имат различни образи и [tex]f[/tex] е инективна.
Образът [tex]f(A)=\{2; 3; 6; 10; 11; 13; 14; 15\}[/tex] е крайно множество, а [tex]\mathbb{N}[/tex] е безкрайно; например [tex]1[/tex] и [tex]4[/tex] нямат първообраз. Значи [tex]f[/tex] не е сюрективна (и следователно не е биективна).
Функцията е инективна, но не е сюрективна.

Решение:
От дистрибутивния закон, закона за допълнението [tex]\neg B\land B=0[/tex] и закона [tex]X\lor 0=X[/tex]:
[tex]\neg B\land(\neg C\lor B)=(\neg B\land\neg C)\lor(\neg B\land B)=(\neg B\land\neg C)\lor 0=\neg B\land\neg C[/tex]
След това от комутативния и асоциативния закон и закона за поглъщането [tex]\neg C\land(\neg C\lor A)=\neg C[/tex]:
[tex]\neg B\land(\neg C\lor A)\land(\neg C\lor B)=(\neg B\land\neg C)\land(\neg C\lor A)=\neg B\land\bigl(\neg C\land(\neg C\lor A)\bigr)=\neg B\land\neg C[/tex]
Следователно [tex]Y=(\neg B\land\neg C)\lor C[/tex]. От дистрибутивността на [tex]\lor[/tex] относно [tex]\land[/tex], закона за допълнението [tex]\neg C\lor C=1[/tex] и закона [tex]X\land 1=X[/tex]:
[tex]Y=(\neg B\lor C)\land(\neg C\lor C)=(\neg B\lor C)\land 1=\neg B\lor C[/tex]
Проверка с таблица на истинност: [tex]Y=0[/tex] точно когато [tex]B=1[/tex] и [tex]C=0[/tex] (при произволно [tex]A[/tex]), а това е точно когато [tex]\neg B\lor C=0[/tex].