Уравнения от по-висока степен - задачи с решения

Решение:
Тъй като [tex]x+2=x-(-2)[/tex], прилагаме схемата на Хорнер с [tex]\alpha=-2[/tex] към коефициентите [tex]6; -1; 11; -2; -2[/tex]. Всяко ново число е равно на [tex]\alpha[/tex], умножено по предходния резултат, плюс следващия коефициент:
[tex]6; \quad (-2)\cdot 6+(-1)=-13; \quad (-2)\cdot (-13)+11=37; \quad (-2)\cdot 37+(-2)=-76; \quad (-2)\cdot (-76)+(-2)=150[/tex]
Първите четири числа са коефициентите на частното, а последното е остатъкът:
[tex]f(x)=(x+2)\left(6x^{3}-13x^{2}+37x-76\right)+150[/tex]
Проверка с теоремата на Безу: [tex]f(-2)=96+8+44+4-2=150[/tex]. Остатъкът е [tex]150[/tex].

Решение:
Според теоремата на Безу остатъкът при деление на [tex]P(x)[/tex] на [tex]x-3[/tex] е равен на [tex]P(3)[/tex]:
[tex]P(3)=81-81+9-3k+5=14-3k[/tex]
От условието на задачата получаваме
[tex]14-3k=2\Rightarrow k=4[/tex]
Проверка със схемата на Хорнер при [tex]k=4[/tex]: за коефициентите [tex]1; -3; 1; -4; 5[/tex] и делителя [tex]x-3[/tex] получаваме коефициентите на частното [tex]1; 0; 1; -1[/tex] и остатък [tex](-1)\cdot 3+5=2[/tex].

Решение:
След умножение с [tex]-1[/tex] получаваме биквадратно уравнение:
[tex]x^4-4x^2-32=0[/tex]
Полагаме [tex]t=x^2\ge 0[/tex]:
[tex]t^2-4t-32=0\Rightarrow t_1=8,\ t_2=-4[/tex]
Стойността [tex]t_2=-4[/tex] отпада, защото [tex]x^2[/tex] не може да е отрицателно. От [tex]x^2=8[/tex] получаваме
[tex]x_{1,2}=\pm\sqrt{8}=\pm 2\sqrt{2}[/tex]

Решение:
Коефициентите [tex]1; 1; 3; 3; 1; 1[/tex] са симетрични, следователно това е симетрично (реципрочно) уравнение от нечетна степен и [tex]x=-1[/tex] е негов корен. Като групираме членовете по двойки, получаваме
[tex]x^4(x+1)+3x^2(x+1)+(x+1)=0\iff (x+1)\left(x^4+3x^2+1\right)=0[/tex]
За всяко реално [tex]x[/tex] е изпълнено [tex]x^4+3x^2+1\ge 1\gt 0[/tex], така че вторият множител няма реални нули. Единственият реален корен е [tex]x=-1[/tex].

Решение:
Нека [tex]P(x)=x^4-4x^3-19x^2+106x-120[/tex]. Всички коефициенти са цели числа и старшият коефициент е [tex]1[/tex], така че всеки рационален корен е цяло число, делител на [tex]120[/tex]. Проверяваме:
[tex]P(1)=1-4-19+106-120=-36\ne 0,\quad P(2)=16-32-76+212-120=0[/tex]
Схемата на Хорнер с [tex]2[/tex] за коефициентите [tex]1; -4; -19; 106; -120[/tex] дава [tex]1; -2; -23; 60[/tex] и остатък [tex]0[/tex], следователно
[tex]P(x)=(x-2)\left(x^3-2x^2-23x+60\right)[/tex]
За кубичния множител [tex]x=3[/tex] е корен ([tex]27-18-69+60=0[/tex]), а схемата на Хорнер с [tex]3[/tex] дава [tex]1; 1; -20[/tex]. Следователно
[tex]x^3-2x^2-23x+60=(x-3)\left(x^2+x-20\right)=(x-3)(x-4)(x+5)[/tex]
Така [tex]P(x)=(x-2)(x-3)(x-4)(x+5)[/tex] и корените на уравнението са
[tex]x\in\left\{-5; 2; 3; 4\right\}[/tex]

Решение:
При [tex]x\le 0[/tex] всеки от членовете [tex]6x^{4}; -23x^{3}; 37x^{2}; -28x[/tex] е неотрицателен, а свободният член е [tex]6\gt 0[/tex], така че лявата страна е положителна; следователно всеки реален корен е положителен. За рационален корен [tex]\frac{p}{q}[/tex] (несъкратима дроб) [tex]p[/tex] е делител на [tex]6[/tex] и [tex]q[/tex] е делител на [tex]6[/tex], така че положителните кандидати са
[tex]1; 2; 3; 6; \frac{1}{2}; \frac{3}{2}; \frac{1}{3}; \frac{2}{3}; \frac{1}{6}[/tex]
Схема на Хорнер с [tex]\frac{3}{2}[/tex]:
[tex]6; \quad 6\cdot \frac{3}{2}-23=-14; \quad (-14)\cdot \frac{3}{2}+37=16; \quad 16\cdot \frac{3}{2}-28=-4; \quad (-4)\cdot \frac{3}{2}+6=0[/tex]
Следователно [tex]\frac{3}{2}[/tex] е корен, а частното е
[tex]6x^{3}-14x^{2}+16x-4=2\left(3x^{3}-7x^{2}+8x-2\right)[/tex]
Схема на Хорнер за [tex]3x^{3}-7x^{2}+8x-2[/tex] с [tex]\frac{1}{3}[/tex]:
[tex]3; \quad 3\cdot \frac{1}{3}-7=-6; \quad (-6)\cdot \frac{1}{3}+8=6; \quad 6\cdot \frac{1}{3}-2=0[/tex]
Следователно [tex]\frac{1}{3}[/tex] е корен, а частното е [tex]3x^{2}-6x+6=3\left(x^{2}-2x+2\right)[/tex]. Така
[tex]6x^{4}-23x^{3}+37x^{2}-28x+6=(2x-3)(3x-1)\left(x^{2}-2x+2\right)[/tex]
Последният множител [tex]x^{2}-2x+2=(x-1)^{2}+1[/tex] е винаги положителен и не дава реални корени. Реалните корени са
[tex]x\in\left\{\frac{1}{3}; \frac{3}{2}\right\}[/tex]

Решение:
Числото [tex]x=-1[/tex] е кратен корен точно когато полиномът се дели на [tex](x+1)^{2}[/tex], т.е. когато [tex]-1[/tex] е корен на полинома и също корен на частното при деление на [tex]x+1[/tex]. Схема на Хорнер с [tex]-1[/tex] за коефициентите [tex]3; 4; -6; b; a[/tex]:
[tex]3; \quad -3+4=1; \quad -1-6=-7; \quad 7+b; \quad -(7+b)+a=a-b-7[/tex]
Първото условие е [tex]a-b-7=0[/tex], а частното е [tex]3x^{3}+x^{2}-7x+(b+7)[/tex]. Схема на Хорнер с [tex]-1[/tex] за [tex]3; 1; -7; b+7[/tex]:
[tex]3; \quad -3+1=-2; \quad 2-7=-5; \quad 5+b+7=b+12[/tex]
Второто условие е [tex]b+12=0[/tex]. Следователно
[tex]b=-12,\quad a=b+7=-5[/tex]
Проверка: [tex]3x^{4}+4x^{3}-6x^{2}-12x-5=(x+1)^{3}(3x-5)[/tex], така че при тези стойности [tex]x=-1[/tex] е дори трикратен корен.

Решение:
Умножаваме първия множител с четвъртия, а втория с третия:
[tex]x(x-3)=x^2-3x,\quad (x-1)(x-2)=x^2-3x+2[/tex]
При [tex]t=x^2-3x[/tex] уравнението добива вида
[tex]t(t+2)=-1\iff t^2+2t+1=0\iff (t+1)^2=0\iff t=-1[/tex]
Връщаме се към [tex]x[/tex]:
[tex]x^2-3x+1=0,\quad D=9-4=5,\quad x_{1,2}=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}[/tex]
Всъщност уравнението е [tex]\left(x^2-3x+1\right)^2=0[/tex], така че и двата корена са двукратни; затова търсенето на рационални корени със схемата на Хорнер тук не дава резултат.