Уравнения от по-висока степен - трудни задачи с решения

Решение:
Нека [tex]f(x)=3x^4+4x^3-12x^2+1[/tex]; като полином [tex]f[/tex] е непрекъсната в [tex]\mathbb{R}[/tex]. Пресмятаме
[tex]f(-3)=243-108-108+1=28\gt 0,\quad f(-1)=3-4-12+1=-12\lt 0,\quad f(0)=1\gt 0[/tex]
[tex]f(1)=3+4-12+1=-4\lt 0,\quad f(2)=48+32-48+1=33\gt 0[/tex]
Следователно [tex]f[/tex] приема стойности с различни знаци в краищата на всеки от интервалите [tex]\left(-3; -1\right)[/tex], [tex]\left(-1; 0\right)[/tex], [tex]\left(0; 1\right)[/tex] и [tex]\left(1; 2\right)[/tex]. Според теоремата на Болцано (за междинните стойности) [tex]f[/tex] има нула във всеки от тези интервали.
Интервалите нямат общи точки, затова четирите нули са различни. Полином от степен [tex]4[/tex] има най-много [tex]4[/tex] корена, следователно уравнението има точно четири реални корена и те са различни.

Решение:
Уравнението е биквадратно. Полагаме [tex]t=x^{2}[/tex] и получаваме
[tex]3t^{2}-2\left(2a^{2}+2b^{2}-ab\right)t+3a^{2}b^{2}=0[/tex]
За дискриминантата му имаме
[tex]\frac{D}{4}=\left(2a^{2}+2b^{2}-ab\right)^{2}-(3ab)^{2}=\left(2a^{2}+2b^{2}-4ab\right)\left(2a^{2}+2b^{2}+2ab\right)[/tex]
[tex]\frac{D}{4}=2(a-b)^{2}\cdot 2\left(a^{2}+ab+b^{2}\right)=4(a-b)^{2}\left(a^{2}+ab+b^{2}\right)[/tex]
Тъй като [tex]a\ne b[/tex] и [tex]a^{2}+ab+b^{2}\gt 0[/tex] (защото [tex]a, b\gt 0[/tex]), получаваме [tex]D\gt 0[/tex], т.е. уравнението относно [tex]t[/tex] има два различни реални корена [tex]t_{1}\ne t_{2}[/tex]. От формулите на Виет
[tex]t_{1}t_{2}=a^{2}b^{2}\gt 0,\qquad t_{1}+t_{2}=\frac{2}{3}\left(2a^{2}+2b^{2}-ab\right)=\frac{2}{3}\left(2(a-b)^{2}+3ab\right)\gt 0[/tex]
Положителното произведение показва, че [tex]t_{1}[/tex] и [tex]t_{2}[/tex] са с еднакви знаци, а положителният сбор показва, че и двата корена са положителни. Тогава
[tex]x^{2}=t_{1}\Rightarrow x=\pm\sqrt{t_{1}},\qquad x^{2}=t_{2}\Rightarrow x=\pm\sqrt{t_{2}}[/tex]
Тези четири числа са реални и две по две различни, защото [tex]t_{1}, t_{2}\gt 0[/tex] и [tex]t_{1}\ne t_{2}[/tex]. С това твърдението е доказано.

Решение:
Тъй като [tex]n\gt 0[/tex], функцията [tex]f(x)=x^{3}+nx-3n[/tex] е строго растяща (тя е сбор на растящите функции [tex]x^{3}[/tex] и [tex]nx-3n[/tex]), затова уравнението има точно един реален корен [tex]x_{0}[/tex]. Освен това
[tex]f(0)=-3n\lt 0,\qquad f(3)=27+3n-3n=27\gt 0\ \Rightarrow\ 0\lt x_{0}\lt 3[/tex]
Следователно цял корен може да бъде само [tex]x_{0}=1[/tex] или [tex]x_{0}=2[/tex].
При [tex]x_{0}=1[/tex]: [tex]1+n-3n=0[/tex] дава [tex]n=\frac{1}{2}[/tex], което не е цяло число.
При [tex]x_{0}=2[/tex]: [tex]8+2n-3n=0[/tex] дава [tex]n=8[/tex]. Проверка:
[tex]x^{3}+8x-24=(x-2)\left(x^{2}+2x+12\right)[/tex]
следователно [tex]x=2[/tex] наистина е корен. Единствената стойност е [tex]n=8[/tex].

Решение:
Тъй като [tex]-2[/tex] е корен,
[tex]-8+20-2a+b=0\Rightarrow b=2a-12[/tex]
Схемата на Хорнер с [tex]-2[/tex] за коефициентите [tex]1, 5, a, 2a-12[/tex] дава [tex]1, 3, a-6[/tex] и остатък [tex](2a-12)-2(a-6)=0[/tex], следователно
[tex]x^3+5x^2+ax+b=(x+2)\left(x^2+3x+a-6\right)[/tex]
Другите два корена са корените на [tex]x^2+3x+a-6=0[/tex]; те трябва да са реални, различни и различни от [tex]-2[/tex]. Затова дискриминантата трябва да е положителна:
[tex]D=9-4(a-6)=33-4a\gt 0\Rightarrow a\lt \frac{33}{4}\Rightarrow a\le 8[/tex]
При [tex]a=8[/tex] квадратният тричлен е [tex]x^2+3x+2=(x+1)(x+2)[/tex], т.е. [tex]-2[/tex] е двоен корен и уравнението има само два различни корена; тази стойност се отхвърля.
При [tex]a=7[/tex] (и [tex]b=2[/tex]) уравнението [tex]x^2+3x+1=0[/tex] има различните реални корени [tex]\frac{-3\pm\sqrt{5}}{2}[/tex], а [tex]-2[/tex] не е сред тях, защото [tex]4-6+1=-1\ne 0[/tex]. Следователно най-голямата стойност е [tex]a=7[/tex].

Решение:
Нека корените са [tex]u[/tex], [tex]2u[/tex] и [tex]v[/tex]. От формулите на Виет
[tex]u+2u+v=\frac{14}{24}\Rightarrow 3u+v=\frac{7}{12}[/tex]
[tex]u\cdot 2u+uv+2uv=-\frac{63}{24}\Rightarrow 2u^{2}+3uv=-\frac{21}{8}[/tex]
[tex]u\cdot 2u\cdot v=-\frac{45}{24}\Rightarrow 2u^{2}v=-\frac{15}{8}[/tex]
От първото равенство [tex]v=\frac{7}{12}-3u[/tex]. Заместваме във второто:
[tex]2u^{2}+\frac{7}{4}u-9u^{2}=-\frac{21}{8}\iff 8u^{2}-2u-3=0\iff u=\frac{3}{4}\text{ или }u=-\frac{1}{2}[/tex]
Трябва да е изпълнено и третото равенство. При [tex]u=-\frac{1}{2}[/tex] получаваме [tex]v=\frac{25}{12}[/tex] и [tex]2u^{2}v=\frac{25}{24}\ne -\frac{15}{8}[/tex], затова този случай отпада. При [tex]u=\frac{3}{4}[/tex]:
[tex]v=\frac{7}{12}-\frac{9}{4}=-\frac{5}{3},\qquad 2u^{2}v=2\cdot \frac{9}{16}\cdot \left(-\frac{5}{3}\right)=-\frac{15}{8}[/tex]
което е вярно. Следователно корените са [tex]\frac{3}{4}[/tex], [tex]\frac{3}{2}[/tex] и [tex]-\frac{5}{3}[/tex]. Проверка:
[tex]24x^{3}-14x^{2}-63x+45=(4x-3)(2x-3)(3x+5)[/tex]

Решение:
И двата множителя съдържат [tex]2x^{2}+1[/tex], затова полагаме [tex]t=2x^{2}+1[/tex]. Уравнението придобива вида
[tex](t-3x)(t+5x)=9x^{2}\iff t^{2}+2xt-15x^{2}-9x^{2}=0\iff t^{2}+2xt-24x^{2}=0[/tex]
Като квадратно уравнение относно [tex]t[/tex] то има корени [tex]t=4x[/tex] и [tex]t=-6x[/tex], следователно
[tex](t-4x)(t+6x)=0[/tex]
Случай [tex]1[/tex]: [tex]t=4x[/tex], т.е.
[tex]2x^{2}-4x+1=0\Rightarrow x=\frac{4\pm\sqrt{8}}{4}=\frac{2\pm\sqrt{2}}{2}[/tex]
Случай [tex]2[/tex]: [tex]t=-6x[/tex], т.е.
[tex]2x^{2}+6x+1=0\Rightarrow x=\frac{-6\pm\sqrt{28}}{4}=\frac{-3\pm\sqrt{7}}{2}[/tex]
Следователно уравнението има четири реални корена: [tex]x_{1,2}=\frac{2\pm\sqrt{2}}{2}[/tex] и [tex]x_{3,4}=\frac{-3\pm\sqrt{7}}{2}[/tex].

Решение:
Полагаме [tex]a=x^2+2x-3[/tex] и [tex]b=x^2-3x+2[/tex]. Тогава [tex]a+b=2x^2-x-1[/tex] и уравнението придобива вида
[tex]a^3+b^3=(a+b)^3\iff a^3+b^3=a^3+b^3+3ab(a+b)\iff 3ab(a+b)=0[/tex]
Разлагаме на множители трите израза:
[tex]a=(x-1)(x+3),\qquad b=(x-1)(x-2),\qquad a+b=(x-1)(2x+1)[/tex]
и уравнението става
[tex]3(x-1)^3(x+3)(x-2)(2x+1)=0[/tex]
Корените му са [tex]x=1[/tex] (трикратен корен), [tex]x=-3[/tex], [tex]x=2[/tex] и [tex]x=-\frac{1}{2}[/tex].

Решение:
Отделяме точен квадрат: [tex]f(x)=(x+5)^{2}-5[/tex], т.е. [tex]f(x)+5=(x+5)^{2}[/tex] за всяко [tex]x[/tex]. Прилагаме това тъждество за [tex]f(x)[/tex] вместо [tex]x[/tex] и повтаряме, като получаваме
[tex]f(f(x))+5=\left(f(x)+5\right)^{2}=(x+5)^{4},\qquad f(f(f(x)))+5=(x+5)^{8}[/tex]
[tex]f(f(f(f(x))))+5=(x+5)^{16},\qquad f(f(f(f(f(x)))))+5=(x+5)^{32}[/tex]
Следователно уравнението е еквивалентно на [tex](x+5)^{32}=5[/tex]. Степенният показател е четен, затова реалните решения са
[tex]x+5=\pm\sqrt[32]{5}\Rightarrow x_{1,2}=-5\pm\sqrt[32]{5}[/tex]

Решение:
Числата [tex]x-1[/tex] и [tex]x+3[/tex] са симетрични спрямо средното си аритметично [tex]x+1[/tex], затова полагаме [tex]y=x+1[/tex]. Тогава [tex]x-1=y-2[/tex], [tex]x+3=y+2[/tex] и уравнението става
[tex](y-2)^5+(y+2)^5=242y[/tex]
От Нютоновия бином
[tex](y\pm 2)^5=y^5\pm 10y^4+40y^3\pm 80y^2+80y\pm 32[/tex]
затова в сбора членовете с нечетни степени на [tex]2[/tex] се унищожават и лявата страна е [tex]2y^5+80y^3+160y[/tex]. Следователно
[tex]2y^5+80y^3-82y=0\iff 2y\left(y^4+40y^2-41\right)=0\iff 2y\left(y^2-1\right)\left(y^2+41\right)=0[/tex]
Тъй като [tex]y^2+41\gt 0[/tex], получаваме [tex]y=0[/tex], [tex]y=1[/tex] или [tex]y=-1[/tex], а от [tex]x=y-1[/tex] следва [tex]x=-1[/tex], [tex]x=0[/tex] или [tex]x=-2[/tex].

Решение:
Заместваме [tex]x=\sqrt{2}[/tex], като използваме [tex](\sqrt{2})^2=2[/tex], [tex](\sqrt{2})^3=2\sqrt{2}[/tex], [tex](\sqrt{2})^4=4[/tex], [tex](\sqrt{2})^5=4\sqrt{2}[/tex]:
[tex]4\sqrt{2}+20+2\sqrt{2}(a+10)+2(b+3a+10)+\sqrt{2}(2b+3a+10)+a+b+8=0[/tex]
[tex](7a+3b+48)+(5a+2b+34)\sqrt{2}=0[/tex]
И двете скоби са рационални числа. Ако [tex]5a+2b+34\ne 0[/tex], то [tex]\sqrt{2}=-\frac{7a+3b+48}{5a+2b+34}[/tex] би било рационално число, което е невъзможно. Следователно
[tex]\begin{cases}5a+2b+34=0\\7a+3b+48=0\end{cases}[/tex]
Умножаваме първото уравнение по [tex]3[/tex], второто по [tex]2[/tex] и изваждаме: [tex]a+6=0[/tex], т.е. [tex]a=-6[/tex] и [tex]b=-2[/tex]. Уравнението става
[tex]x^5+5x^4+4x^3-10x^2-12x=0\iff x\left(x^4+5x^3+4x^2-10x-12\right)=0[/tex]
Тъй като очакваме [tex]\pm\sqrt{2}[/tex] да са корени, делим множителя от четвърта степен на [tex]x^2-2[/tex]; делението е без остатък:
[tex]x^4+5x^3+4x^2-10x-12=\left(x^2-2\right)\left(x^2+5x+6\right)=\left(x^2-2\right)(x+2)(x+3)[/tex]
Следователно уравнението е [tex]x(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})(x+2)(x+3)=0[/tex] и корените му са [tex]-3[/tex], [tex]-2[/tex], [tex]-\sqrt{2}[/tex], [tex]0[/tex] и [tex]\sqrt{2}[/tex].

Решение:
Намираме остатъка при деление на [tex]x^{2}+kx+1[/tex]. По модул делителя можем да заменяме [tex]x^{2}[/tex] с [tex]-kx-1[/tex]:
[tex]x^{3}=x\cdot x^{2}\equiv -kx^{2}-x\equiv k(kx+1)-x=\left(k^{2}-1\right)x+k[/tex]
[tex]x^{6}=\left(x^{3}\right)^{2}\equiv\left(k^{2}-1\right)^{2}x^{2}+2k\left(k^{2}-1\right)x+k^{2}\equiv\left(-k^{5}+4k^{3}-3k\right)x-k^{4}+3k^{2}-1[/tex]
Освен това [tex]-15x^{3}\equiv-15\left(k^{2}-1\right)x-15k[/tex] и [tex]-8x^{2}\equiv 8kx+8[/tex]. Като съберем всичко (заедно със свободния член [tex]2[/tex]), получаваме остатъка
[tex]R(x)=\left(-k^{5}+4k^{3}-15k^{2}+5k+15\right)x+\left(-k^{4}+3k^{2}-15k+9\right)[/tex]
Полиномът се дели без остатък точно когато и двата коефициента са нули: [tex]A=-k^{5}+4k^{3}-15k^{2}+5k+15=0[/tex] и [tex]B=-k^{4}+3k^{2}-15k+9=0[/tex]. Тези две условия са равносилни на [tex]B=0[/tex] и [tex]A-kB=0[/tex], където
[tex]A-kB=k^{3}-4k+15=(k+3)\left(k^{2}-3k+5\right)[/tex]
Квадратният множител има дискриминанта [tex]9-20\lt 0[/tex], затова [tex]A-kB=0[/tex] само при [tex]k=-3[/tex]. Проверка в [tex]B[/tex]: [tex]-81+27+45+9=0[/tex], т.е. и двете условия са изпълнени и [tex]k=-3[/tex]. Наистина
[tex]x^{6}-15x^{3}-8x^{2}+2=\left(x^{2}-3x+1\right)\left(x^{4}+3x^{3}+8x^{2}+6x+2\right)[/tex]