Схема на Бернули и биномна вероятност - задачи с решения

Решение:
Тъй като топката се връща след всяко теглене, [tex]10[/tex]-те тегления са независими повторения на един и същи опит. При едно теглене червената топка се изтегля с вероятност [tex]p=\frac{1}{3}[/tex], следователно не се изтегля с вероятност
[tex]q=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}[/tex]
Червената топка не се изтегля нито веднъж точно когато това стане и при [tex]10[/tex]-те тегления (нула успеха в схема на Бернули с [tex]n=10[/tex], [tex]p=\frac{1}{3}[/tex]), следователно
[tex]P=q^{10}=\left(\frac{2}{3}\right)^{10}=\frac{1024}{59049}\approx 0{,}0173[/tex]

Решение:
Всяко дете е независим опит с вероятност за успех (русо дете) [tex]p=\frac{1}{3}[/tex] и вероятност за неуспех [tex]q=\frac{2}{3}[/tex]. Това е схема на Бернули с [tex]n=4[/tex] опита, като търсим точно [tex]k=2[/tex] успеха. Двете руси деца могат да се изберат по [tex]\binom{4}{2}=6[/tex] начина, а всеки такъв избор има вероятност [tex]p^2q^2[/tex]. Следователно
[tex]P_4(2)=\binom{4}{2}p^2q^2=6\cdot \frac{1}{9}\cdot \frac{4}{9}=\frac{24}{81}=\frac{8}{27}[/tex]

Решение:
Партиите са независими опити, при всеки от които първият шахматист печели с вероятност [tex]p=\frac{1}{2}[/tex], затова прилагаме формулата на Бернули:
[tex]P_n(k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}=\frac{\binom{n}{k}}{2^n}[/tex]
Следователно
[tex]P_4(3)=\frac{\binom{4}{3}}{2^4}=\frac{4}{16}=\frac{1}{4},\qquad P_8(5)=\frac{\binom{8}{5}}{2^8}=\frac{56}{256}=\frac{7}{32}[/tex]
Тъй като [tex]\frac{1}{4}=\frac{8}{32}\gt\frac{7}{32}[/tex], по-вероятно е да бъдат спечелени точно [tex]3[/tex] от [tex]4[/tex] партии. Отбележете, че [tex]\frac{3}{4}[/tex] и [tex]\frac{5}{8}[/tex] са само дяловете на спечелените партии, а не вероятности.

Решение:
Проверката на [tex]6[/tex]-те изделия е редица от [tex]n=6[/tex] независими опита, всеки от които е успех (качествено изделие) с вероятност [tex]p=0{,}9[/tex] и неуспех с вероятност [tex]q=0{,}1[/tex]. Местата на [tex]4[/tex]-те качествени изделия могат да се изберат по [tex]\binom{6}{4}=15[/tex] начина, а всяко такова разположение има вероятност [tex]p^4q^2[/tex]. По формулата на Бернули
[tex]P_6(4)=\binom{6}{4}p^4q^2=15\cdot 0{,}6561\cdot 0{,}01=0{,}098415[/tex]

Решение:
Петте удара са независими повторения на един и същи опит с вероятност за успех [tex]p=0{,}9[/tex] и вероятност за неуспех [tex]q=0{,}1[/tex], т.е. имаме схема на Бернули и [tex]P_5(k)=\binom{5}{k}p^kq^{5-k}[/tex]. Поне [tex]4[/tex] успеха означава точно [tex]4[/tex] или точно [tex]5[/tex] успеха:
[tex]P_5(4)=\binom{5}{4}\cdot 0{,}9^4\cdot 0{,}1=5\cdot 0{,}6561\cdot 0{,}1=0{,}32805[/tex]
[tex]P_5(5)=0{,}9^5=0{,}59049[/tex]
Тези две събития са несъвместими, следователно
[tex]P=P_5(4)+P_5(5)=0{,}32805+0{,}59049=0{,}91854[/tex]

Решение:
Хвърлянията са [tex]11[/tex] независими повторения на един и същи опит, като при всяко хвърляне ези се пада с вероятност [tex]p=\frac{1}{2}[/tex] и не се пада с вероятност [tex]q=\frac{1}{2}[/tex]. В тази схема на Бернули с [tex]n=11[/tex] вероятността ези да се падне точно [tex]k[/tex] пъти е
[tex]P_{11}(k)=\binom{11}{k}p^kq^{11-k}=\frac{\binom{11}{k}}{2^{11}}[/tex]
Най-много [tex]4[/tex] пъти означава [tex]k\in\left\{0; 1; 2; 3; 4\right\}[/tex], като тези случаи са несъвместими:
[tex]P=\frac{\binom{11}{0}+\binom{11}{1}+\binom{11}{2}+\binom{11}{3}+\binom{11}{4}}{2^{11}}=\frac{1+11+55+165+330}{2048}=\frac{562}{2048}=\frac{281}{1024}[/tex]

Решение:
Всяка монета пада на ези с вероятност [tex]\frac{1}{2}[/tex] независимо от останалите, следователно имаме схема на Бернули с [tex]n=100[/tex] и [tex]p=q=\frac{1}{2}[/tex]. По формулата на Бернули
[tex]P_{100}(50)=\binom{100}{50}\left(\frac{1}{2}\right)^{50}\left(\frac{1}{2}\right)^{50}=\frac{\binom{100}{50}}{2^{100}}[/tex]
Същото се получава и директно: има [tex]2^{100}[/tex] равновъзможни изхода, а [tex]50[/tex]-те монети, паднали на ези, могат да се изберат по [tex]\binom{100}{50}[/tex] начина. Тази вероятност е само около [tex]0{,}08[/tex], т.е. далеч от [tex]\frac{1}{2}[/tex]: въпреки че [tex]50[/tex] е най-вероятният брой ези, всяка отделна стойност на този брой е малко вероятна.

Решение:
Отговорите на [tex]100[/tex]-те задачи са [tex]100[/tex] независими повторения на един и същи опит: успех (верен отговор) с вероятност [tex]p=\frac{1}{4}[/tex] и неуспех с вероятност [tex]q=\frac{3}{4}[/tex]. По формулата на Бернули вероятността за точно [tex]k=90[/tex] успеха при [tex]n=100[/tex] опита е
[tex]P_{100}(90)=\binom{100}{90}p^{90}q^{10}=\binom{100}{90}\cdot \frac{1}{4^{90}}\cdot \frac{3^{10}}{4^{10}}=\binom{100}{90}\cdot \frac{3^{10}}{4^{100}}[/tex]
Множителят [tex]\binom{100}{90}[/tex] е броят на начините да се изберат [tex]90[/tex]-те задачи с верен отговор, а множителят [tex]q^{10}[/tex] е необходим, защото останалите [tex]10[/tex] отговора трябва да са грешни.