Рационални изрази и дробни уравнения - задачи с решения

Решение:
Всеки знаменател трябва да е различен от нула:
[tex]x^2-4=(x-2)(x+2)\ne 0\ \Rightarrow\ x\ne 2,\ x\ne -2[/tex]
[tex]x^2+3x+2=(x+1)(x+2)\ne 0\ \Rightarrow\ x\ne -1,\ x\ne -2[/tex]
[tex]x+4\ne 0\ \Rightarrow\ x\ne -4[/tex]
Освен това делим на дробта [tex]\frac{x-4}{x+4}[/tex], затова и този делител трябва да е различен от нула (след като заменим делението с умножение, [tex]x-4[/tex] става знаменател):
[tex]x-4\ne 0\ \Rightarrow\ x\ne 4[/tex]
Следователно допустими са всички реални [tex]x[/tex] освен [tex]-4[/tex], [tex]-2[/tex], [tex]-1[/tex], [tex]2[/tex] и [tex]4[/tex]:
[tex]x\in\mathbb{R}\setminus\{-4; \,-2; \,-1; \,2; \,4\}[/tex]

Решение:
Разлагаме числителите и знаменателите на множители:
[tex]a^2-b^2=(a-b)(a+b),\qquad a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)[/tex]
Тъй като [tex]a\ne b[/tex], съкращаваме двете дроби на [tex]a-b[/tex]:
[tex]\frac{(a-b)(a+b)}{a-b}=a+b,\qquad \frac{(a-b)(a^2+ab+b^2)}{(a-b)(a+b)}=\frac{a^2+ab+b^2}{a+b}[/tex]
Привеждаме под общ знаменател [tex]a+b[/tex], който е различен от нула, защото [tex]a\ne -b[/tex]:
[tex]a+b-\frac{a^2+ab+b^2}{a+b}=\frac{(a+b)^2-(a^2+ab+b^2)}{a+b}=\frac{a^2+2ab+b^2-a^2-ab-b^2}{a+b}=\frac{ab}{a+b}[/tex]

Решение:
Дефиниционна област: [tex]x\ne\pm 2[/tex]. Сменяме знаците в дробта от дясната страна:
[tex]\frac{24-x^2}{4-x^2}=\frac{x^2-24}{x^2-4}=\frac{x^2-24}{(x-2)(x+2)}[/tex]
Умножаваме двете страни по [tex](x-2)(x+2)\ne 0[/tex]:
[tex]5(x-2)-3(x+2)=x^2-24\ \Rightarrow\ 2x-16=x^2-24\ \Rightarrow\ x^2-2x-8=0\ \Rightarrow\ (x-4)(x+2)=0[/tex]
Стойността [tex]x=-2[/tex] анулира знаменателите, затова е чужд корен и се отхвърля. Стойността [tex]x=4[/tex] е допустима. Проверка:
[tex]\frac{5}{6}-\frac{3}{2}=-\frac{2}{3},\qquad \frac{24-16}{4-16}=\frac{8}{-12}=-\frac{2}{3}[/tex]
Единственият корен е [tex]x=4[/tex].

Решение:
Разлагаме знаменателя: [tex]x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)[/tex]. Вторият множител е положителен за всяко [tex]x[/tex], защото
[tex]x^2-x+1=\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\gt 0[/tex]
така че единственото ограничение е [tex]x\ne -1[/tex]. Като умножим двете страни по общия знаменател [tex](x+1)(x^2-x+1)[/tex], получаваме
[tex]2x-1+(x^2-x+1)=2(x+1)\ \Rightarrow\ x^2+x=2x+2\ \Rightarrow\ x^2-x-2=0[/tex]
Корените му са [tex]x=2[/tex] и [tex]x=-1[/tex]. Стойността [tex]x=-1[/tex] анулира знаменателите [tex]x+1[/tex] и [tex]x^3+1[/tex], затова е чужд корен и се отхвърля. Проверка за [tex]x=2[/tex]:
[tex]\frac{3}{9}+\frac{1}{3}=\frac{2}{3},\qquad \frac{2}{4-2+1}=\frac{2}{3}[/tex]
Уравнението има единствен корен [tex]x=2[/tex].

Решение:
Дефиниционна област: [tex]y^2-9\ne 0[/tex], т.е. [tex]y\ne\pm 3[/tex]. Умножаваме двете страни по [tex](y-3)(y+3)\ne 0[/tex]:
[tex](y+1)(y+3)-(y-1)(y-3)=8y[/tex]
[tex](y^2+4y+3)-(y^2-4y+3)=8y\ \Rightarrow\ 8y=8y[/tex]
Това е вярно за всяко [tex]y[/tex], т.е. уравнението е тъждество в дефиниционната си област: всяка допустима стойност на [tex]y[/tex] е решение, а [tex]y=\pm 3[/tex] не са решения, защото при тях дробите не са дефинирани. Следователно
[tex]y\in\mathbb{R}\setminus\{-3; \,3\}[/tex]

Решение:
Нека [tex]n[/tex] е броят на дните, за които ученикът е прочел книгата; тогава той е чел по [tex]\frac{240}{n}[/tex] страници на ден. При [tex]4[/tex] страници повече на ден щяха да му трябват [tex]n-2[/tex] дни (значи [tex]n\gt 2[/tex]), т.е. би чел по [tex]\frac{240}{n-2}[/tex] страници на ден. Следователно
[tex]\frac{240}{n-2}=\frac{240}{n}+4[/tex]
Умножаваме по [tex]n(n-2)\ne 0[/tex]:
[tex]240n=240(n-2)+4n(n-2)\ \Rightarrow\ 4n^2-8n-480=0\ \Rightarrow\ n^2-2n-120=0[/tex]
Корените са [tex]n=12[/tex] и [tex]n=-10[/tex]; броят на дните не може да е отрицателен, затова [tex]n=12[/tex]. Проверка: [tex]\frac{240}{12}=20[/tex] страници на ден, а при [tex]24[/tex] страници на ден книгата се чете за [tex]\frac{240}{24}=10=12-2[/tex] дни. Ученикът е прочел книгата за [tex]12[/tex] дни.

Решение:
Допустими стойности: знаменателите са различни от нула, т.е. [tex]x\ne 0[/tex], [tex]y\ne x[/tex], [tex]y\ne -x[/tex] и [tex]y\ne 2x[/tex]. Първата скоба:
[tex]1+\frac{x^2-xy+y^2}{x^2-y^2}=\frac{x^2-y^2+x^2-xy+y^2}{x^2-y^2}=\frac{2x^2-xy}{x^2-y^2}=\frac{x(2x-y)}{x^2-y^2}[/tex]
Втората скоба:
[tex]\frac{3x}{2x-y}-\frac{2x+y}{x}=\frac{3x^2-(2x+y)(2x-y)}{x(2x-y)}=\frac{3x^2-4x^2+y^2}{x(2x-y)}=-\frac{x^2-y^2}{x(2x-y)}[/tex]
Като умножим, получаваме
[tex]A=\frac{x(2x-y)}{x^2-y^2}\cdot \left(-\frac{x^2-y^2}{x(2x-y)}\right)=-1[/tex]
И така, при всички допустими стойности изразът е равен на [tex]-1[/tex].

Решение:
От [tex]\frac{b}{a}=-\frac{1}{2}[/tex] следва [tex]a=-2b[/tex], като [tex]b\ne 0[/tex]; тогава [tex]a-b=-3b\ne 0[/tex] и [tex]a+b=-b\ne 0[/tex], т.е. изразът е дефиниран. Разлагаме на множители:
[tex]a^4-b^4=(a-b)(a+b)(a^2+b^2),\qquad ab^4-b^5=b^4(a-b)[/tex]
[tex]a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2),\qquad a^2-b^2=(a-b)(a+b)[/tex]
Следователно изразът е равен на
[tex]\frac{(a+b)(a^2+b^2)}{b^4}\cdot \frac{a^2+ab+b^2}{a+b}=\frac{(a^2+b^2)(a^2+ab+b^2)}{b^4}=\left(\frac{a^2}{b^2}+1\right)\left(\frac{a^2}{b^2}+\frac{a}{b}+1\right)[/tex]
Тук [tex]\frac{a}{b}=-2[/tex] (а не [tex]-\frac{1}{2}[/tex]), затова стойността е
[tex](4+1)(4-2+1)=5\cdot 3=15[/tex]