Рационални изрази и дробни уравнения - трудни задачи с решения

Решение:
Знаменателите са положителни за всяко реално [tex]x[/tex], затова дефиниционната област е [tex]\mathbb{R}[/tex]. Тъй като [tex]x^2+4\ge 4[/tex] и [tex]x^2+5\ge 5[/tex], то
[tex]\frac{4}{x^2+4}\le 1,\qquad \frac{5}{x^2+5}\le 1[/tex]
като и в двата случая равенство се достига само при [tex]x=0[/tex]. Следователно лявата страна е най-много [tex]2[/tex] и е равна на [tex]2[/tex] само когато и двете дроби са равни на [tex]1[/tex], т.е. само при [tex]x=0[/tex].
Същото се получава и след освобождаване от знаменателите:
[tex]4(x^2+5)+5(x^2+4)=2(x^2+4)(x^2+5)\iff 2x^4+9x^2=0\iff x^2(2x^2+9)=0[/tex]
Тъй като [tex]2x^2+9\gt 0[/tex], единственият реален корен е [tex]x=0[/tex]. Уравнението има точно един реален корен.

Решение:
Дефиниционни области: [tex]F[/tex] е определена при [tex]x\ne 0[/tex], [tex]x\ne -1[/tex]; при [tex]G[/tex] и делителят [tex]\left(\frac{x+2}{2}\right)^2[/tex] трябва да е различен от нула, затова освен това [tex]x\ne -2[/tex].
Опростяваме [tex]F[/tex]: тъй като [tex]\frac{x}{x(x+1)}=\frac{1}{x+1}[/tex], то
[tex]1-\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x}-\frac{x}{x+1}=1+\frac{1}{x}-\frac{x+1}{x+1}=\frac{1}{x}\Rightarrow F(x)=\frac{4}{x}[/tex]
Опростяваме [tex]G[/tex]:
[tex]\frac{1}{x(x+1)}+\frac{x+3}{x}=\frac{1+(x+3)(x+1)}{x(x+1)}=\frac{x^2+4x+4}{x(x+1)}=\frac{(x+2)^2}{x(x+1)}[/tex]
[tex]G(x)=\frac{(x+2)^2}{x(x+1)}\cdot \frac{4}{(x+2)^2}=\frac{4}{x(x+1)},\quad x\ne -2[/tex]
Общите точки удовлетворяват [tex]\frac{4}{x}=\frac{4}{x(x+1)}[/tex] при [tex]x\notin\{-2; -1; 0\}[/tex]. След умножаване с [tex]x(x+1)\ne 0[/tex] получаваме [tex]x+1=1[/tex], т.е. [tex]x=0[/tex], което не е допустимо.
(Ако не се вземат предвид дефиниционните области, освобождаването от знаменателите води до [tex]x(x+2)^2=0[/tex], но и [tex]x=0[/tex], и [tex]x=-2[/tex] са извън дефиниционната област на [tex]G[/tex].) Следователно графиките нямат общи точки и търсеното множество е празно: [tex]\varnothing[/tex].

Решение:
Дефиниционна област: [tex]x\ne 1[/tex] и [tex]x\ne -1[/tex]. За допустимите [tex]x[/tex]
[tex]\frac{x+1}{1-x^2}=\frac{x+1}{(1-x)(1+x)}=\frac{1}{1-x}=-\frac{1}{x-1}[/tex]
затова първото и третото събираемо се унищожават и уравнението приема вида [tex]x^3-4x^2-4x+1=0[/tex]. Групираме събираемите:
[tex]x^3-4x^2-4x+1=(x^3+1)-4x(x+1)=(x+1)(x^2-x+1)-4x(x+1)=(x+1)(x^2-5x+1)[/tex]
Коренът [tex]x=-1[/tex] не е от дефиниционната област (дробите не са определени), затова е страничен. От [tex]x^2-5x+1=0[/tex] намираме
[tex]x_{1,2}=\frac{5\pm\sqrt{21}}{2}[/tex]
Тези числа са ирационални, следователно са различни от [tex]\pm 1[/tex], затова и двете са корени на уравнението.

Решение:
За естествено число [tex]n[/tex]
[tex]f(n)f(n+1)=\frac{2}{2n+1}\cdot \frac{2}{2n+3}=\frac{4}{(2n+1)(2n+3)}=2\left(\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}\right)[/tex]
защото [tex]\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}=\frac{2}{(2n+1)(2n+3)}[/tex]. Сумираме за [tex]n=1,2,\ldots,1002[/tex] и всички междинни събираеми се унищожават:
[tex]2\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\ldots+\frac{1}{2005}-\frac{1}{2007}\right)=2\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{2007}\right)=2\cdot \frac{668}{2007}=\frac{1336}{2007}[/tex]

Решение:
Разлагаме знаменателите на множители:
[tex]9x^2-6x+1=(3x-1)^2,\qquad 11-9x^2-30x=-(9x^2+30x-11)=-(3x-1)(3x+11)[/tex]
Дефиниционна област: [tex]x\ne\frac{1}{3}[/tex] и [tex]x\ne-\frac{11}{3}[/tex]. Полагаме [tex]u=3x-1[/tex] и [tex]v=3x+11[/tex]; в дефиниционната област те са различни от нула и [tex]v-u=12[/tex]. Уравнението приема вида
[tex]-\frac{2}{uv}=\frac{1}{u^2}-\frac{3}{v^2}[/tex]
Умножаваме с [tex]u^2v^2\ne 0[/tex]:
[tex]-2uv=v^2-3u^2\iff 3u^2-2uv-v^2=0\iff (3u+v)(u-v)=0[/tex]
Множителят [tex]u-v=-12[/tex] никога не е нула, затова [tex]3u+v=0[/tex]:
[tex]3(3x-1)+(3x+11)=0\iff 12x+8=0\iff x=-\frac{2}{3}[/tex]
Тази стойност е от дефиниционната област ([tex]u=-3[/tex], [tex]v=9[/tex]). Проверка: лявата страна е [tex]\frac{2}{27}[/tex], а дясната е [tex]\frac{1}{9}-\frac{3}{81}=\frac{2}{27}[/tex]. Единственият корен е [tex]x=-\frac{2}{3}[/tex].

Решение:
Дискриминантите на [tex]4x^2-8x+7[/tex] и [tex]4x^2-10x+7[/tex] са [tex]64-112\lt 0[/tex] и [tex]100-112\lt 0[/tex], затова знаменателите никога не се анулират и дефиниционната област е [tex]\mathbb{R}[/tex]. Числото [tex]x=0[/tex] не е корен (лявата страна е [tex]0\ne 1[/tex]).
При [tex]x\ne 0[/tex] делим числителя и знаменателя на всяка дроб на [tex]x[/tex]:
[tex]\frac{4}{4x+\frac{7}{x}-8}+\frac{3}{4x+\frac{7}{x}-10}=1[/tex]
Полагаме [tex]t=4x+\frac{7}{x}[/tex] (при [tex]t\ne 8[/tex], [tex]t\ne 10[/tex]):
[tex]\frac{4}{t-8}+\frac{3}{t-10}=1\iff 4(t-10)+3(t-8)=(t-8)(t-10)\iff t^2-25t+144=0\iff t=9\text{ или }t=16[/tex]
При [tex]t=9[/tex]: уравнението [tex]4x^2-9x+7=0[/tex] има дискриминанта [tex]81-112\lt 0[/tex], следователно няма реални корени.
При [tex]t=16[/tex]:
[tex]4x^2-16x+7=0\Rightarrow x=\frac{16\pm 12}{8}\Rightarrow x_1=\frac{1}{2},\ x_2=\frac{7}{2}[/tex]
И двете числа са различни от нула, затова и двете са корени на уравнението.

Решение:
Изразът е определен при [tex]a\ne 0[/tex], [tex]a\ne \pm 1[/tex]; никое от тези числа не удовлетворява [tex]8a^3=6a+1[/tex] (при [tex]a=0[/tex]: [tex]0\ne 1[/tex]; при [tex]a=1[/tex]: [tex]8\ne 7[/tex]; при [tex]a=-1[/tex]: [tex]-8\ne -5[/tex]), така че [tex]A[/tex] е определен. С общ знаменател [tex]a(a-1)(a+1)=a^3-a[/tex]:
[tex]A=\frac{a^2}{(a-1)(a+1)}+\frac{1}{a(a+1)}=\frac{a^3+a-1}{a^3-a}[/tex]
От условието [tex]a^3=\frac{6a+1}{8}[/tex], следователно
[tex]a^3+a-1=\frac{6a+1+8a-8}{8}=\frac{7(2a-1)}{8},\qquad a^3-a=\frac{6a+1-8a}{8}=\frac{1-2a}{8}[/tex]
Освен това [tex]2a-1\ne 0[/tex], защото при [tex]a=\frac{1}{2}[/tex] имаме [tex]8a^3=1\ne 4=6a+1[/tex]. Следователно
[tex]A=\frac{7(2a-1)}{1-2a}=-7[/tex]

Решение:
Полагаме [tex]p=a[/tex], [tex]q=2b[/tex], [tex]r=3c[/tex]; тези числа са положителни и
[tex]\frac{p}{q+r}=\frac{q}{r+p}=\frac{r}{p+q}[/tex]
Като прибавим [tex]1[/tex] към всяка от трите равни дроби, получаваме
[tex]\frac{p+q+r}{q+r}=\frac{p+q+r}{r+p}=\frac{p+q+r}{p+q}[/tex]
Тъй като [tex]p+q+r\gt 0[/tex], знаменателите са равни: [tex]q+r=r+p=p+q[/tex], откъдето [tex]p=q=r[/tex], т.е. [tex]a=2b=3c[/tex]. Нека [tex]a=6s[/tex], [tex]b=3s[/tex], [tex]c=2s[/tex], където [tex]s\gt 0[/tex]. Тогава
[tex]a+b+c=11s,\qquad \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{6s}+\frac{2}{6s}+\frac{3}{6s}=\frac{1}{s}[/tex]
[tex]F=11s\cdot \frac{1}{s}=11[/tex]

Решение:
Нека [tex]s=a+b+c[/tex]; тогава [tex]s\ne 0[/tex] и [tex]a=s-(b+c)[/tex], откъдето
[tex]\frac{a^2}{b+c}=\frac{a\left(s-(b+c)\right)}{b+c}=\frac{sa}{b+c}-a[/tex]
Аналогично
[tex]\frac{b^2}{c+a}=\frac{sb}{c+a}-b,\qquad \frac{c^2}{a+b}=\frac{sc}{a+b}-c[/tex]
Събираме трите равенства и използваме условието:
[tex]0=\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}=s\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)-(a+b+c)=sA-s=s(A-1)[/tex]
Тъй като [tex]s\ne 0[/tex], получаваме [tex]A-1=0[/tex], т.е. [tex]A=1[/tex].