Реален анализ - задачи с решения

Решение:
Разглеждаме функцията [tex]g(x)=f(x)-x[/tex] в [tex][0; 1][/tex]; тя е непрекъсната като разлика на непрекъснати функции. Тъй като стойностите на [tex]f[/tex] са в [tex][0; 1][/tex],
[tex]g(0)=f(0)\ge 0,\qquad g(1)=f(1)-1\le 0[/tex]
Ако [tex]g(0)=0[/tex], то [tex]c=0[/tex] е неподвижна точка; ако [tex]g(1)=0[/tex], то [tex]c=1[/tex] е неподвижна точка. В противен случай [tex]g(0)\gt 0\gt g(1)[/tex] и по теоремата на Болцано (за междинните стойности) непрекъснатата функция [tex]g[/tex] се анулира в някоя точка [tex]c\in(0; 1)[/tex]:
[tex]g(c)=0\iff f(c)=c[/tex]