Дефиниционна област на функция - задачи с решения

Решение:
Квадратният корен е дефиниран точно когато подкоренната величина е неотрицателна:
[tex]23-2x^2\ge 0\iff x^2\le\frac{23}{2}=11{,}5[/tex]
За цяло [tex]x[/tex] това означава [tex]|x|\le 3[/tex], защото [tex]3^2=9\le 11{,}5[/tex], а [tex]4^2=16\gt 11{,}5[/tex]. Следователно целите числа от дефиниционната област са
[tex]-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3[/tex]
т.е. [tex]7[/tex] числа.

Решение:
Функцията е дефинирана, когато
[tex]5x^2-x^3=x^2(5-x)\ge 0[/tex]
Ако [tex]x=0[/tex], неравенството е изпълнено. Ако [tex]x\ne 0[/tex], то [tex]x^2\gt 0[/tex] и неравенството е еквивалентно на [tex]5-x\ge 0[/tex], т.е. [tex]x\le 5[/tex].
Тъй като [tex]0\le 5[/tex], дефиниционната област е [tex]\left(-\infty; 5\right][/tex] и най-голямото число в нея е [tex]5[/tex]. Наистина
[tex]f(5)=\sqrt{125-125}=0[/tex]

Решение:
Изразът е дефиниран точно когато знаменателят е различен от нула, затова намираме кога той се анулира:
[tex]|x-2|-4+3x=0[/tex]
Ако [tex]x\ge 2[/tex], то [tex]|x-2|=x-2[/tex] и уравнението става [tex]4x-6=0[/tex], откъдето [tex]x=\frac{3}{2}[/tex]. Тази стойност не удовлетворява [tex]x\ge 2[/tex] и се отхвърля (наистина при [tex]x=\frac{3}{2}[/tex] знаменателят е [tex]\frac{1}{2}-4+\frac{9}{2}=1\ne 0[/tex]).
Ако [tex]x\lt 2[/tex], то [tex]|x-2|=2-x[/tex] и уравнението става [tex]2x-2=0[/tex], откъдето [tex]x=1[/tex], което удовлетворява [tex]x\lt 2[/tex].
Следователно знаменателят се анулира само при [tex]x=1[/tex] и допустимите стойности са
[tex]x\in\left(-\infty; 1\right)\cup\left(1; +\infty\right)[/tex]

Решение:
Основата на логаритъма трябва да е положителна и различна от [tex]1[/tex], а аргументът му трябва да е положителен:
[tex]x\gt 0,\qquad x\ne 1,\qquad x^2-3x+2=(x-1)(x-2)\gt 0[/tex]
Последното неравенство е изпълнено при [tex]x\lt 1[/tex] или [tex]x\gt 2[/tex]. Като вземем сечението с условията за основата [tex]x\in\left(0; 1\right)\cup\left(1; +\infty\right)[/tex], получаваме
[tex]x\in\left(0; 1\right)\cup\left(2; +\infty\right)[/tex]

Решение:
Подкоренната величина трябва да е неотрицателна:
[tex]x^4-x^2=x^2(x-1)(x+1)\ge 0[/tex]
Ако [tex]x=0[/tex], лявата страна е равна на [tex]0[/tex], така че неравенството е изпълнено и [tex]0[/tex] принадлежи на дефиниционната област.
Ако [tex]x\ne 0[/tex], то [tex]x^2\gt 0[/tex] и можем да разделим на него: [tex](x-1)(x+1)\ge 0[/tex], т.е. [tex]x\le -1[/tex] или [tex]x\ge 1[/tex]. Следователно дефиниционната област е
[tex]\left(-\infty; -1\right]\cup\left\{0\right\}\cup\left[1; +\infty\right)[/tex]
Да отбележим, че [tex]0[/tex] е двоен корен: множителят [tex]x^2[/tex] не сменя знака си, затова изразът е отрицателен от двете страни на [tex]0[/tex] (при [tex]0\lt |x|\lt 1[/tex]) и точката [tex]0[/tex] е изолирана в дефиниционната област.

Решение:
Коренът с показател [tex]112[/tex] е от четна степен, затова подкоренната величина трябва да е неотрицателна:
[tex]-x^2-4x+5\ge 0\iff x^2+4x-5\le 0\iff (x+5)(x-1)\le 0\iff x\in\left[-5; 1\right][/tex]
Коренът с показател [tex]13[/tex] е от нечетна степен, затова е дефиниран за всяка реална подкоренна величина (включително отрицателна). Единственото ограничение идва от това, че той е в знаменател:
[tex]\sqrt[13]{11-11x}\ne 0\iff 11-11x\ne 0\iff x\ne 1[/tex]
Обединявайки двете условия, получаваме, че допустимите стойности са
[tex]x\in\left[-5; 1\right)[/tex]

Решение:
Всеки от квадратните корени трябва да съществува поотделно, а знаменателят трябва да е различен от нула. За числителя:
[tex]x^2+4x+3=(x+1)(x+3)\ge 0\iff x\in\left(-\infty; -3\right]\cup\left[-1; +\infty\right)[/tex]
Коренът в знаменателя съществува и е различен от нула точно когато
[tex]x^2+2x-8=(x+4)(x-2)\gt 0\iff x\in\left(-\infty; -4\right)\cup\left(2; +\infty\right)[/tex]
Дефиниционната област е сечението на тези две множества:
[tex]x\in\left(-\infty; -4\right)\cup\left(2; +\infty\right)[/tex]
Да отбележим, че при [tex]x\in\left[-3; -1\right][/tex] частното [tex]\frac{x^2+4x+3}{x^2+2x-8}[/tex] е неотрицателно, но подкоренната величина [tex]x^2+2x-8[/tex] е отрицателна, затова тези стойности не принадлежат на дефиниционната област на [tex]f[/tex] (те принадлежат само на дефиниционната област на [tex]\sqrt{\frac{x^2+4x+3}{x^2+2x-8}}[/tex]).

Решение:
И двете подкоренни величини трябва да са неотрицателни. От [tex]9-x^2\ge 0[/tex] получаваме [tex]x\in\left[-3; 3\right][/tex], а от [tex]\sin x\ge 0[/tex] получаваме
[tex]x\in\left[2k\pi; \pi+2k\pi\right],\ k\in\mathbb{Z}[/tex]
Проверяваме кои от тези интервали имат общи точки с [tex]\left[-3; 3\right][/tex]. При [tex]k=0[/tex] интервалът е [tex]\left[0; \pi\right][/tex]; тъй като [tex]\pi\gt 3[/tex], общата му част с [tex]\left[-3; 3\right][/tex] е [tex]\left[0; 3\right][/tex].
При [tex]k\le -1[/tex] интервалите завършват в [tex](2k+1)\pi\le -\pi\lt -3[/tex], а при [tex]k\ge 1[/tex] започват от [tex]2k\pi\ge 2\pi\gt 3[/tex], така че нямат общи точки с [tex]\left[-3; 3\right][/tex]. Следователно дефиниционната област е
[tex]x\in\left[0; 3\right][/tex]

Решение:
Аргументът на [tex]\log_2[/tex] трябва да е положителен, аргументът на [tex]\log_{\frac{1}{3}}[/tex] трябва да е положителен, а подкоренната величина трябва да е неотрицателна:
[tex]\frac{x^2-7}{x+4}\gt 0,\qquad L=\log_{2}\frac{x^2-7}{x+4}\gt 0,\qquad -\log_{\frac{1}{3}}L\ge 0[/tex]
Последното условие означава [tex]\log_{\frac{1}{3}}L\le 0=\log_{\frac{1}{3}}1[/tex]. Основата е [tex]\frac{1}{3}\lt 1[/tex], затова този логаритъм е намаляваща функция и условието е еквивалентно на [tex]L\ge 1[/tex], т.е.
[tex]\log_{2}\frac{x^2-7}{x+4}\ge 1=\log_2 2\iff\frac{x^2-7}{x+4}\ge 2[/tex]
Това неравенство вече осигурява и първите две условия. Решаваме го:
[tex]\frac{x^2-7}{x+4}-2\ge 0\iff\frac{x^2-2x-15}{x+4}\ge 0\iff\frac{(x-5)(x+3)}{x+4}\ge 0[/tex]
По метода на интервалите (критични точки [tex]-4[/tex], [tex]-3[/tex], [tex]5[/tex], като [tex]-4[/tex] се изключва) дефиниционната област е
[tex]x\in\left(-4; -3\right]\cup\left[5; +\infty\right)[/tex]
Интервалът [tex]\left(-4; -3\right)[/tex] не съдържа цели числа, така че най-малкото цяло число от дефиниционната област е [tex]-3[/tex]. Проверка:
[tex]\frac{9-7}{-3+4}=2,\qquad \log_2 2=1,\qquad \log_{\frac{1}{3}}1=0,\qquad f(-3)=\sqrt{0}=0[/tex]

Решение:
Трябва [tex]x\ge 0[/tex] (за вътрешния корен) и [tex]\sin \sqrt{x}\ge 0[/tex] (за външния корен). Полагаме [tex]t=\sqrt{x}\ge 0[/tex]. Неравенството [tex]\sin t\ge 0[/tex] е изпълнено при
[tex]t\in\left[2k\pi; (2k+1)\pi\right],\ k\in\mathbb{Z}[/tex]
При [tex]k\le -1[/tex] целият интервал е отрицателен (десният му край е [tex](2k+1)\pi\le -\pi\lt 0[/tex]), така че не съдържа допустими [tex]t[/tex]; следователно [tex]k\in\left\{0; 1; 2; \ldots\right\}[/tex]. При [tex]t\ge 0[/tex] функцията [tex]x=t^2[/tex] е растяща, затова
[tex]2k\pi\le\sqrt{x}\le(2k+1)\pi\iff 4k^2\pi^2\le x\le(2k+1)^2\pi^2[/tex]
Следователно дефиниционната област е обединението на интервалите [tex]\left[4k^2\pi^2; (2k+1)^2\pi^2\right][/tex], [tex]k\in\left\{0; 1; 2; \ldots\right\}[/tex]:
[tex]\left[0; \pi^2\right]\cup\left[4\pi^2; 9\pi^2\right]\cup\left[16\pi^2; 25\pi^2\right]\cup\ldots[/tex]