Задачи с цилиндър, конус и сфера - задачи с решения

Решение:
Нека [tex]O_1[/tex] и [tex]O_2[/tex] са центровете на сферите, а [tex]P[/tex] е произволна обща точка на двете сфери. Тъй като [tex]PO_1=PO_2=5[/tex], точката [tex]P[/tex] е на равни разстояния от [tex]O_1[/tex] и [tex]O_2[/tex], затова лежи в равнината през средата [tex]M[/tex] на [tex]O_1O_2[/tex], перпендикулярна на [tex]O_1O_2[/tex]. Следователно общата окръжност лежи в тази равнина.
Правата [tex]O_1M[/tex] е перпендикулярна на тази равнина, т.е. [tex]M[/tex] е петата на перпендикуляра от центъра [tex]O_1[/tex] към равнината на окръжността. Следователно [tex]M[/tex] е центърът на общата окръжност, а [tex]MP[/tex] е нейният радиус.
[tex]O_1M=\frac{O_1O_2}{2}=\frac{8}{2}=4[/tex]
От правоъгълния [tex]\triangle O_1MP[/tex] ([tex]\angle O_1MP=90^{\circ}[/tex]) по Питагоровата теорема
[tex]MP=\sqrt{O_1P^2-O_1M^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{9}=3[/tex]
Радиусът на окръжността е [tex]3[/tex] см.

Решение:
Тъй като [tex]40[/tex] мм са [tex]4[/tex] см, радиусът на основата на кутията и радиусът на всяка топка са [tex]r=2[/tex] см. Петте топки, поставени една върху друга, имат обща височина [tex]5\cdot 4=20[/tex] см, равна на височината на кутията, така че се побират точно в нея.
Обем на кутията:
[tex]V=\pi r^2h=\pi\cdot 2^2\cdot 20=80\pi[/tex]
Обем на петте топки:
[tex]V_1=5\cdot \frac{4}{3}\pi r^3=5\cdot \frac{32\pi}{3}=\frac{160\pi}{3}[/tex]
Незапълнената част има обем [tex]V-V_1[/tex], а отношението ѝ към обема на кутията е
[tex]\frac{V-V_1}{V}=\frac{80\pi-\frac{160\pi}{3}}{80\pi}=\frac{\frac{80\pi}{3}}{80\pi}=\frac{1}{3}[/tex]
Следователно [tex]\frac{1}{3}[/tex] от обема на кутията остава незапълнена.

Решение:
Нека [tex]K[/tex] и [tex]L[/tex] са средите на [tex]AB[/tex] и [tex]CD[/tex]. В правоъгълника симетралата на [tex]AB[/tex] е и симетрала на [tex]CD[/tex], т.е. това е правата [tex]KL[/tex]. Като симетрала на хордата [tex]AB[/tex] тя минава през центъра [tex]O[/tex] на [tex]k[/tex].
Вписаният ъгъл [tex]ABC[/tex] е прав, следователно [tex]AC[/tex] е диаметър на [tex]k[/tex]:
[tex]AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10\Rightarrow R=\frac{AC}{2}=5[/tex]
При въртенето на окръжността около диаметъра ѝ, лежащ на [tex]KL[/tex], се получава кълбо с радиус [tex]R=5[/tex]:
[tex]V_1=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi\cdot 5^3=\frac{500\pi}{3}[/tex]
При въртенето на правоъгълника около [tex]KL[/tex] се получава цилиндър с радиус [tex]KB=\frac{AB}{2}=4[/tex] и височина [tex]KL=BC=6[/tex]:
[tex]V_2=\pi\cdot KB^2\cdot KL=\pi\cdot 4^2\cdot 6=96\pi[/tex]
Следователно
[tex]\frac{V_1}{V_2}=\frac{500\pi}{3\cdot 96\pi}=\frac{125}{72}[/tex]

Решение:
Нека [tex]O[/tex] и [tex]O_1[/tex] са центровете на голямата и на малката основа, а [tex]AA_1[/tex] е образувателна ([tex]A[/tex] е от голямата основа, [tex]A_1[/tex] – от малката). В осното сечение четириъгълникът [tex]OAA_1O_1[/tex] е правоъгълен трапец с [tex]OA=R[/tex] и [tex]O_1A_1=r[/tex].
Спускаме перпендикуляра [tex]A_1H[/tex] към [tex]OA[/tex]. Тогава [tex]A_1H=12[/tex] е височината и [tex]AH=R-r[/tex]; от правоъгълния [tex]\triangle AHA_1[/tex] по Питагоровата теорема:
[tex]R-r=\sqrt{13^2-12^2}=5[/tex]
Околната повърхнина на пресечен конус е [tex]S=\pi(R+r)l[/tex], следователно
[tex]\pi(R+r)\cdot 13=91\pi\Rightarrow R+r=7[/tex]
Решаваме системата:
[tex]\begin{cases}R+r=7\\R-r=5\end{cases}\Rightarrow R=6; \ r=1[/tex]
Радиусите са [tex]6[/tex] см и [tex]1[/tex] см.

Решение:
Нека [tex]r[/tex] е радиусът на основата, а [tex]l[/tex] – образувателната. Развивката на околната повърхнина е кръгов сектор с радиус [tex]l[/tex] и централен ъгъл [tex]72^{\circ}[/tex], а дължината на дъгата му е равна на дължината на окръжността на основата:
[tex]2\pi r=\frac{72^{\circ}}{360^{\circ}}\cdot 2\pi l=\frac{2\pi l}{5}\Rightarrow l=5r[/tex]
Пълната повърхнина е сбор от лицето на основата и околната повърхнина:
[tex]S=\pi r^2+\pi rl=\pi r^2+5\pi r^2=6\pi r^2[/tex]
От [tex]6\pi r^2=6\pi[/tex] получаваме [tex]r^2=1[/tex], т.е. [tex]r=1[/tex] см.

Решение:
Нека [tex]R[/tex] и [tex]r[/tex] са радиусите на голямата и на малката основа на пресечения конус, а [tex]h[/tex] е височината му. Едната основа на цилиндъра е малката основа на пресечения конус, а другата лежи в равнината на голямата основа, затова цилиндърът има радиус [tex]r[/tex] и височина [tex]h[/tex] (разстоянието между равнините на основите).
Обемите на цилиндъра и на пресечения конус са
[tex]V_1=\pi r^2h,\qquad V_2=\frac{1}{3}\pi h\left(R^2+Rr+r^2\right)[/tex]
От [tex]V_2=7V_1[/tex]:
[tex]\frac{1}{3}\pi h\left(R^2+Rr+r^2\right)=7\pi r^2h\Rightarrow R^2+Rr+r^2=21r^2\Rightarrow R^2+Rr-20r^2=0[/tex]
Делим на [tex]r^2[/tex] и полагаме [tex]x=\frac{R}{r}[/tex]:
[tex]x^2+x-20=0\Rightarrow x_1=4; \ x_2=-5[/tex]
Тъй като [tex]x\gt 0[/tex], то [tex]x=4[/tex], т.е. радиусът на голямата основа е [tex]4[/tex] пъти по-голям от радиуса на малката.

Решение:
Нека [tex]O[/tex] е центърът на сферата, а [tex]a[/tex], [tex]b[/tex], [tex]c[/tex] са измеренията на паралелепипеда. Две срещуположни стени лежат в успоредни равнини, допирателни към сферата, а разстоянието от [tex]O[/tex] до допирателна равнина е равно на радиуса [tex]2[/tex].
Сферата е вътре в паралелепипеда, затова [tex]O[/tex] е между двете равнини и разстоянието между тях е [tex]2+2=4[/tex]. Това важи за всяка от трите двойки срещуположни стени:
[tex]a=b=c=4[/tex]
Следователно паралелепипедът е куб с ръб, равен на диаметъра на сферата, и обемът му е [tex]V=4^3=64[/tex] куб. см.

Решение:
Осното сечение е равнобедрен трапец [tex]ABCD[/tex] с основи [tex]AB=2R=60[/tex], [tex]CD=2r=28[/tex] и бедра [tex]AD=BC=l[/tex] (образувателните), като [tex]\angle ADC=120^{\circ}[/tex]. Тъй като [tex]AB\parallel CD[/tex], имаме [tex]\angle DAB=180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}[/tex].
Нека [tex]DH\perp AB[/tex], [tex]H\in AB[/tex]. В равнобедрения трапец [tex]AH=\frac{AB-CD}{2}=R-r=16[/tex] и от правоъгълния триъгълник [tex]AHD[/tex]
[tex]l=AD=\frac{AH}{\cos 60^{\circ}}=\frac{16}{\frac{1}{2}}=32[/tex]
Околната повърхнина и лицата на двете основи са
[tex]\pi(R+r)l=\pi\cdot 44\cdot 32=1408\pi,\quad \pi R^2=900\pi,\quad \pi r^2=196\pi[/tex]
Следователно пълната повърхнина е
[tex]S=1408\pi+900\pi+196\pi=2504\pi[/tex]

Решение:
Нека правият ъгъл е при [tex]C[/tex], по-малкият катет е [tex]CA=2k[/tex], по-големият е [tex]CB=3k[/tex], а оста [tex]s[/tex] минава през [tex]B[/tex] успоредно на [tex]CA[/tex]. Тогава [tex]CB\perp s[/tex] и точките [tex]C[/tex] и [tex]A[/tex] са на разстояние [tex]3k[/tex] от [tex]s[/tex]. Нека [tex]B_1[/tex] е проекцията на [tex]A[/tex] върху [tex]s[/tex]; тогава [tex]BB_1=2k[/tex] и [tex]B_1A=3k[/tex].
При въртенето катетът [tex]CB[/tex] описва кръг с център [tex]B[/tex] и радиус [tex]3k[/tex], катетът [tex]CA[/tex] описва околната повърхнина на цилиндър с радиус [tex]3k[/tex] и височина [tex]2k[/tex], а хипотенузата [tex]AB[/tex] описва околната повърхнина на конус с връх [tex]B[/tex], радиус на основата [tex]B_1A=3k[/tex] и образувателна [tex]AB=\sqrt{4k^2+9k^2}=k\sqrt{13}[/tex]. Следователно тялото е този цилиндър без конуса:
[tex]V=\pi(3k)^2\cdot 2k-\frac{1}{3}\pi(3k)^2\cdot 2k=18\pi k^3-6\pi k^3=12\pi k^3=12\pi\Rightarrow k=1[/tex]
Следователно [tex]CA=2[/tex], [tex]CB=3[/tex], [tex]AB=\sqrt{13}[/tex]. Повърхнината се състои от кръга, околната повърхнина на цилиндъра и околната повърхнина на отстранения конус (другата основа на цилиндъра е основа на отстранения конус и не е част от повърхнината):
[tex]S=\pi\cdot 3^2+2\pi\cdot 3\cdot 2+\pi\cdot 3\cdot \sqrt{13}=9\pi+12\pi+3\sqrt{13}\pi=(21+3\sqrt{13})\pi[/tex]

Решение:
Нека [tex]r[/tex] е радиусът на основата, а [tex]h[/tex] е височината на цилиндъра. Осното сечение е правоъгълник със страни [tex]2r[/tex] (диаметър на основата) и [tex]h[/tex] (образувателна); то е квадрат, следователно [tex]h=2r[/tex]. Тогава лицето на околната повърхнина е
[tex]S=2\pi rh=2\pi r\cdot 2r=4\pi r^2=12\Rightarrow \pi r^2=3[/tex]
Значи лицето на една основа е [tex]B=\pi r^2=3[/tex] (не е нужно да намираме [tex]r[/tex]), а лицето на пълната повърхнина е
[tex]S_1=S+2B=12+2\cdot 3=18[/tex]

Решение:
Разрязваме цилиндъра с равнини, успоредни на основите, на [tex]4[/tex] равни цилиндъра с височина [tex]\frac{12}{4}=3[/tex]. Конецът е навит равномерно и прави [tex]4[/tex] пълни оборота, затова върху всеки малък цилиндър прави точно един пълен оборот и четирите части на конеца са равни.
Разрязваме околната повърхнина на един малък цилиндър по образувателната през началната точка на неговата част от конеца и я развиваме в равнина. Получаваме правоъгълник със страни [tex]4[/tex] (обиколката на основата) и [tex]3[/tex] (височината). Тъй като конецът се издига равномерно, докато се навива, неговата част се превръща в диагонал на този правоъгълник. По Питагоровата теорема дължината ѝ е
[tex]\sqrt{4^2+3^2}=5[/tex]
Следователно дължината на целия конец е
[tex]4\cdot 5=20[/tex]

Решение:
Нека [tex]r[/tex] е радиусът на костилката. Диаметърът ѝ [tex]2r[/tex] е равен на дебелината на месестата част, така че радиусът на черешата е [tex]R=r+2r=3r[/tex]. Отношението на обемите на костилката и черешата е
[tex]\frac{\frac{4}{3}\pi r^3}{\frac{4}{3}\pi (3r)^3}=\frac{1}{27}[/tex]
Понеже костилката и месестата част имат еднаква плътност, масите са пропорционални на обемите, т.е. костилката е [tex]\frac{1}{27}[/tex] от масата на всяка череша, независимо от големината ѝ. Следователно костилките в [tex]1[/tex] кг череши тежат [tex]\frac{1}{27}[/tex] кг и струват [tex]\frac{2{,}70}{27}=0{,}10[/tex] евро, т.е. [tex]10[/tex] евроцента.

Решение:
Нека катетите са [tex]a[/tex] и [tex]b[/tex], а хипотенузата е [tex]c[/tex]. От Питагоровата теорема
[tex]c^2=a^2+b^2[/tex]
Сфера с диаметър [tex]d[/tex] има радиус [tex]\frac{d}{2}[/tex] и лицето ѝ е
[tex]4\pi\left(\frac{d}{2}\right)^2=\pi d^2[/tex]
Следователно лицата на трите сфери са [tex]\pi a^2[/tex], [tex]\pi b^2[/tex] и [tex]\pi c^2[/tex]. Като умножим Питагоровото равенство по [tex]\pi[/tex], получаваме
[tex]\pi c^2=\pi a^2+\pi b^2[/tex]
т.е. лицето на сферата с диаметър хипотенузата е равно на сбора от лицата на сферите с диаметри катетите.