Рационални изрази и дробни уравнения - много трудни задачи с решения

Решение:
Тъй като [tex]a[/tex], [tex]b[/tex], [tex]c[/tex] са различни, всички знаменатели са различни от нула константи. Разглеждаме
[tex]P(x)=\frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)}+\frac{(x-c)(x-a)}{(b-c)(b-a)}+\frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)}-1[/tex]
Това е полином на [tex]x[/tex] от степен най-много [tex]2[/tex]. При [tex]x=a[/tex] първата дроб е равна на [tex]1[/tex], а другите две съдържат множителя [tex]x-a=0[/tex], така че
[tex]P(a)=\frac{(a-b)(a-c)}{(a-b)(a-c)}+0+0-1=1-1=0[/tex]
Аналогично, при [tex]x=b[/tex] само втората дроб е различна от нула и е равна на [tex]1[/tex], а при [tex]x=c[/tex] само третата дроб е различна от нула и е равна на [tex]1[/tex]. Следователно [tex]P(b)=P(c)=0[/tex].
Значи [tex]P[/tex] има три различни корена [tex]a[/tex], [tex]b[/tex], [tex]c[/tex]. Ненулев полином от степен най-много [tex]2[/tex] има най-много два корена, следователно [tex]P[/tex] е нулевият полином, т.е. [tex]P(x)=0[/tex] за всяко [tex]x[/tex]. Това означава, че даденото равенство е изпълнено за всяко реално число [tex]x[/tex].

Решение:
Полагаме [tex]p=\frac{1}{a}[/tex], [tex]q=\frac{1}{b}[/tex], [tex]r=\frac{1}{c}[/tex]. Тогава [tex]p+q+r=0[/tex] и [tex]pqr=\frac{1}{abc}[/tex]. Първо ще покажем, че [tex]p^3+q^3+r^3=3pqr[/tex]. Наистина, [tex]r=-(p+q)[/tex], откъдето
[tex]r^3=-(p+q)^3=-p^3-q^3-3pq(p+q)=-p^3-q^3+3pqr\ \Rightarrow\ p^3+q^3+r^3=3pqr[/tex]
Освен това
[tex]\frac{bc}{a^2}=\frac{abc}{a^3}=abc\,p^3,\qquad \frac{ca}{b^2}=\frac{abc}{b^3}=abc\,q^3,\qquad \frac{ab}{c^2}=\frac{abc}{c^3}=abc\,r^3[/tex]
Следователно
[tex]\frac{bc}{a^2}+\frac{ca}{b^2}+\frac{ab}{c^2}=abc\left(p^3+q^3+r^3\right)=3abc\,pqr=\frac{3abc}{abc}=3[/tex]
което трябваше да се докаже.

Решение:
Дефиниционна област: [tex]x\ne -1[/tex]. Полагаме
[tex]A=\frac{x(19-x)}{x+1},\qquad B=x+\frac{19-x}{x+1}=\frac{x^2+19}{x+1}[/tex]
Тогава за всяко допустимо [tex]x[/tex]
[tex]A+B=\frac{19x-x^2+x^2+19}{x+1}=\frac{19(x+1)}{x+1}=19[/tex]
а уравнението гласи [tex]AB=84[/tex]. Следователно [tex]A[/tex] и [tex]B[/tex] са корените на [tex]z^2-19z+84=0[/tex], т.е. [tex]\left\{A; B\right\}=\left\{7; 12\right\}[/tex]. Тъй като [tex]A=19-B[/tex] е изпълнено автоматично, достатъчно е да поискаме [tex]B=7[/tex] или [tex]B=12[/tex].
Ако [tex]B=7[/tex]:
[tex]x^2+19=7x+7\ \Rightarrow\ x^2-7x+12=0\ \Rightarrow\ x=3\text{ или }x=4[/tex]
Ако [tex]B=12[/tex]:
[tex]x^2+19=12x+12\ \Rightarrow\ x^2-12x+7=0\ \Rightarrow\ x=6\pm\sqrt{29}[/tex]
Нито едно от четирите числа не е равно на [tex]-1[/tex], следователно всички те са корени на уравнението: [tex]x_1=3; \ x_2=4; \ x_{3,4}=6\pm\sqrt{29}[/tex].

Решение:
Дефиниционна област: [tex]x\ne -2[/tex]. Знаменателите отляво са положителни, тъй като
[tex]x^2+2x+2013=(x+1)^2+2012,\quad x^2+2x+2014=(x+1)^2+2013,\quad x^2+2x+2015=(x+1)^2+2014[/tex]
Следователно всяка от дробите отляво е най-много [tex]1[/tex]:
[tex]\frac{2012}{(x+1)^2+2012}\le 1,\qquad \frac{2013}{(x+1)^2+2013}\le 1,\qquad \frac{2014}{(x+1)^2+2014}\le 1[/tex]
така че лявата страна е най-много [tex]3[/tex], като равенство има само при [tex](x+1)^2=0[/tex], т.е. [tex]x=-1[/tex]. За дясната страна полагаме [tex]w=(x+2)^2\gt 0[/tex]:
[tex]\frac{(x+2)^4+(x+2)^2+1}{(x+2)^2}=\frac{w^2+w+1}{w}=w+\frac{1}{w}+1=3+\frac{(w-1)^2}{w}\ge 3[/tex]
като равенство има само при [tex]w=1[/tex], т.е. при [tex]x=-1[/tex] или [tex]x=-3[/tex]. И така, лявата страна [tex]\le 3\le[/tex] дясната страна, следователно уравнението е изпълнено само ако двете страни са равни на [tex]3[/tex]. Това изисква [tex]x=-1[/tex]; при [tex]x=-3[/tex] лявата страна е по-малка от [tex]3[/tex].
Проверка: при [tex]x=-1[/tex] лявата страна е [tex]1+1+1=3[/tex], а дясната е [tex]\frac{1+1+1}{1}=3[/tex]. Уравнението има единствено решение [tex]x=-1[/tex].

Решение:
Тъй като [tex]a[/tex], [tex]b[/tex], [tex]c[/tex] са различни от нула, умножаваме всяко равенство по знаменателя му:
[tex]ab=bt-1,\qquad bc=ct-1,\qquad ca=at-1[/tex]
Умножаваме първото равенство по [tex]c[/tex] и използваме второто:
[tex]abc=bct-c=(ct-1)t-c=ct^2-t-c\ \Rightarrow\ abc+t=c\left(t^2-1\right)[/tex]
Умножаваме второто равенство по [tex]a[/tex] и използваме третото:
[tex]abc=cat-a=(at-1)t-a=at^2-t-a\ \Rightarrow\ abc+t=a\left(t^2-1\right)[/tex]
От двата резултата получаваме [tex]c\left(t^2-1\right)=a\left(t^2-1\right)[/tex], т.е. [tex](c-a)\left(t^2-1\right)=0[/tex]. Тъй като [tex]a\ne c[/tex], следва [tex]t^2=1[/tex], и тогава
[tex]abc+t=c\left(t^2-1\right)=0[/tex]
което трябваше да се докаже.

Решение:
Първо ще покажем, че две от числата са противоположни. Записваме условието във вида
[tex]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{a+b+c}-\frac{1}{c}\ \Rightarrow\ \frac{a+b}{ab}=\frac{c-(a+b+c)}{c(a+b+c)}=-\frac{a+b}{c(a+b+c)}[/tex]
Следователно
[tex](a+b)\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{c(a+b+c)}\right)=0\ \Rightarrow\ \frac{(a+b)\left(c(a+b+c)+ab\right)}{abc(a+b+c)}=0[/tex]
Тъй като [tex]c(a+b+c)+ab=c^2+ca+cb+ab=(c+a)(c+b)[/tex], получаваме
[tex](a+b)(b+c)(c+a)=0[/tex]
И условието, и твърдението са симетрични относно [tex]a[/tex], [tex]b[/tex], [tex]c[/tex], затова можем да считаме, че [tex]a+b=0[/tex], т.е. [tex]b=-a[/tex]. При нечетно [tex]n[/tex] имаме [tex]b^n=(-a)^n=-a^n[/tex] и лявата страна е
[tex]\frac{1}{a^n}+\frac{1}{b^n}+\frac{1}{c^n}=\frac{1}{a^n}-\frac{1}{a^n}+\frac{1}{c^n}=\frac{1}{c^n}[/tex]
Отдясно [tex]a^n+b^n+c^n=a^n-a^n+c^n=c^n\ne 0[/tex], така че и дясната страна е равна на [tex]\frac{1}{c^n}[/tex]. Следователно равенството е изпълнено за всяко нечетно естествено число [tex]n[/tex].

Решение:
Дефиниционна област: [tex]x\notin\left\{2; 3; 4; 5\right\}[/tex]. Добавяме [tex]1[/tex] към всяка дроб. Тъй като дробите участват със знаци [tex]+[/tex], [tex]-[/tex], [tex]+[/tex], [tex]-[/tex], добавените единици се унищожават, а понеже [tex]\frac{x-7}{x-5}+1=\frac{2(x-6)}{x-5}[/tex] (и аналогично за останалите дроби), уравнението приема вида
[tex]2(x-6)\left(\frac{1}{x-5}-\frac{1}{x-4}+\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-2}\right)=x-6[/tex]
Един корен е [tex]x=6[/tex] (той е допустим). При [tex]x\ne 6[/tex] делим на [tex]x-6[/tex] и групираме дробите:
[tex]2\left(\frac{1}{x-5}-\frac{1}{x-2}\right)+2\left(\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-4}\right)=1\ \Rightarrow\ \frac{6}{x^2-7x+10}-\frac{2}{x^2-7x+12}=1[/tex]
Полагаме [tex]k=x^2-7x+11[/tex]; тогава [tex]x^2-7x+10=k-1[/tex], [tex]x^2-7x+12=k+1[/tex] и в дефиниционната област [tex]k\ne\pm 1[/tex]:
[tex]\frac{6}{k-1}-\frac{2}{k+1}=1\ \Rightarrow\ 6(k+1)-2(k-1)=k^2-1\ \Rightarrow\ k^2-4k-9=0\ \Rightarrow\ k=2\pm\sqrt{13}[/tex]
При [tex]k=2+\sqrt{13}[/tex] получаваме [tex]x^2-7x+9-\sqrt{13}=0[/tex] с дискриминанта [tex]13+4\sqrt{13}\gt 0[/tex], т.е. два реални корена [tex]x=\frac{7\pm\sqrt{13+4\sqrt{13}}}{2}[/tex].
При [tex]k=2-\sqrt{13}[/tex] получаваме [tex]x^2-7x+9+\sqrt{13}=0[/tex] с дискриминанта [tex]13-4\sqrt{13}=\sqrt{13}\left(\sqrt{13}-4\right)\lt 0[/tex], т.е. няма реални корени.
За двата нови корена [tex]x^2-7x=\sqrt{13}-9[/tex] е ирационално число, докато за [tex]x\in\left\{2; 3; 4; 5; 6\right\}[/tex] числото [tex]x^2-7x[/tex] е цяло. Следователно тези корени са допустими и са различни от [tex]6[/tex]. Значи уравнението има [tex]3[/tex] реални корена.