Квадратна функция и парабола - много трудни задачи с решения

Решение:
Заместваме координатите на трите точки:
[tex]\left\{\begin{array}{l} 4a-2b+c=7 \\ a-b+c=3 \\ 9a+3b+c=7 \end{array}\right.[/tex]
Като извадим първото уравнение от третото, получаваме [tex]5a+5b=0[/tex], т.е. [tex]b=-a[/tex]; тогава [tex]6a+c=7[/tex] и [tex]2a+c=3[/tex], откъдето [tex]a=1[/tex], [tex]b=-1[/tex], [tex]c=1[/tex] и
[tex]f(x)=x^2-x+1[/tex]
Правата [tex]BD[/tex] има ъглов коефициент [tex]\frac{7-3}{3+1}=1[/tex], затова уравнението ѝ е [tex]y=x+4[/tex], а [tex]BD=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}[/tex]. Диагоналът [tex]BD[/tex] разделя [tex]ABCD[/tex] на триъгълниците [tex]ABD[/tex] и [tex]CBD[/tex], като [tex]A[/tex] и [tex]C[/tex] лежат от различни страни на [tex]BD[/tex].
Триъгълникът [tex]ABD[/tex] е фиксиран: [tex]AD[/tex] лежи на правата [tex]y=7[/tex], [tex]AD=5[/tex], а разстоянието от [tex]B[/tex] до тази права е [tex]4[/tex], затова
[tex]S_{ABD}=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 4=10[/tex]
Точката [tex]A[/tex] е над правата [tex]BD[/tex] (при [tex]x=-2[/tex] за правата [tex]y=2\lt 7[/tex]), следователно [tex]C[/tex] трябва да е под нея:
[tex]x^2-x+1\lt x+4\Leftrightarrow (x+1)(x-3)\lt 0\Leftrightarrow -1\lt x\lt 3[/tex]
Нека [tex]C\left(t; t^2-t+1\right)[/tex], където [tex]-1\lt t\lt 3[/tex]. Вертикалното разстояние от [tex]C[/tex] до правата е [tex](t+4)-(t^2-t+1)=4-(t-1)^2[/tex], а тъй като правата сключва ъгъл [tex]45^\circ[/tex] с осите, разстоянието от [tex]C[/tex] до [tex]BD[/tex] е [tex]\frac{4-(t-1)^2}{\sqrt{2}}[/tex]. Следователно
[tex]S_{CBD}=\frac{1}{2}\cdot 4\sqrt{2}\cdot \frac{4-(t-1)^2}{\sqrt{2}}=2\left(4-(t-1)^2\right)\le 8[/tex]
като равенство се достига само при [tex]t=1[/tex], т.е. за [tex]C(1; 1)[/tex] (точката, в която допирателната [tex]y=x[/tex] е успоредна на [tex]BD[/tex]). За [tex]C(1; 1)[/tex] отсечките [tex]AC[/tex] и [tex]BD[/tex] се пресичат в точката [tex]\left(-\frac{1}{3}; \frac{11}{3}\right)[/tex], която е вътрешна и за двете, така че [tex]ABCD[/tex] наистина е изпъкнал четириъгълник с диагонали [tex]AC[/tex] и [tex]BD[/tex]. Най-голямото лице е
[tex]S_{ABCD}=S_{ABD}+S_{CBD}=10+8=18[/tex]

Решение:
Нека [tex]A(x_1; 0)[/tex] и [tex]B(x_2; 0)[/tex], където [tex]x_1\ne x_2[/tex] са корените на [tex]x^2+px+q=0[/tex], и [tex]C(0; q)[/tex]. Тъй като [tex]q\ne 0[/tex], точката [tex]C[/tex] не лежи на абсцисната ос, следователно [tex]A[/tex], [tex]B[/tex], [tex]C[/tex] не лежат на една права и през тях минава точно една окръжност. Нека уравнението ѝ е
[tex]x^2+y^2+Dx+Ey+F=0[/tex]
Общите ѝ точки с абсцисната ос ([tex]y=0[/tex]) удовлетворяват [tex]x^2+Dx+F=0[/tex]. Тъй като [tex]A[/tex] и [tex]B[/tex] лежат на окръжността, това уравнение има различните корени [tex]x_1[/tex] и [tex]x_2[/tex], следователно
[tex]x^2+Dx+F=(x-x_1)(x-x_2)=x^2+px+q\Rightarrow D=p,\quad F=q[/tex]
Точката [tex]C(0; q)[/tex] лежи на окръжността, а [tex]q\ne 0[/tex]:
[tex]q^2+Eq+q=0\Rightarrow q+E+1=0\Rightarrow E=-(q+1)[/tex]
Следователно окръжността през [tex]A[/tex], [tex]B[/tex], [tex]C[/tex] е
[tex]x^2+y^2+px-(q+1)y+q=0[/tex]
Заместваме координатите на [tex]P(0; 1)[/tex]:
[tex]0+1+0-(q+1)+q=0[/tex]
което е вярно. Следователно и [tex]P[/tex] лежи на тази окръжност, т.е. точките [tex]A[/tex], [tex]B[/tex], [tex]C[/tex] и [tex]P[/tex] лежат на една окръжност. (Ако [tex]q=1[/tex], то [tex]C=P[/tex] и твърдението е очевидно.)

Решение:
Нека [tex]g(x)=ax^2+bx+c[/tex]. За всяка такава функция
[tex]g(4)-3g(3)+3g(2)-g(1)=a(16-27+12-1)+b(4-9+6-1)+c(1-3+3-1)=0[/tex]
следователно
[tex]g(4)=g(1)-3g(2)+3g(3)[/tex]
Числата [tex]1[/tex], [tex]2[/tex], [tex]3[/tex] принадлежат на [tex]\left[1; 3\right][/tex], така че [tex]|g(1)|\le 1[/tex], [tex]|g(2)|\le 1[/tex], [tex]|g(3)|\le 1[/tex]. Следователно
[tex]g(4)\le |g(1)|+3|g(2)|+3|g(3)|\le 1+3+3=7[/tex]
Оценката се достига: [tex]g(x)=2(x-2)^2-1=2x^2-8x+7[/tex] удовлетворява [tex]-1\le g(x)\le 1[/tex] в [tex]\left[1; 3\right][/tex] (там най-малката ѝ стойност е [tex]g(2)=-1[/tex], а най-голямата е [tex]g(1)=g(3)=1[/tex]) и [tex]g(4)=7[/tex].

Решение:
Първо, [tex]a\ne 0[/tex]: при [tex]a=0[/tex] условието би станало [tex](b-c)^2\lt 0[/tex], което е невъзможно. Избираме
[tex]x_0=\frac{c-b}{2a},\qquad ax_0=\frac{c-b}{2}[/tex]
Тогава
[tex]f(x_0)=x_0^2+\frac{c-b}{2}+b=x_0^2+\frac{b+c}{2},\qquad g(x_0)=x_0^2-\frac{c-b}{2}+c=x_0^2+\frac{b+c}{2}[/tex]
Следователно, според условието,
[tex]f(x_0)=g(x_0)=\frac{(b-c)^2}{4a^2}+\frac{b+c}{2}=\frac{(b-c)^2+2a^2(b+c)}{4a^2}\lt 0[/tex]
Всяка от функциите [tex]f[/tex] и [tex]g[/tex] има старши коефициент [tex]1\gt 0[/tex] (параболата ѝ е с клони нагоре) и приема отрицателна стойност в [tex]x_0[/tex]. Следователно най-малката ѝ стойност [tex]-\frac{D}{4}[/tex] е отрицателна, т.е. дискриминантата ѝ [tex]D[/tex] е положителна, и параболата ѝ пресича абсцисната ос в две точки, по една от двете страни на [tex]x_0[/tex]. Следователно всяко от уравненията [tex]f(x)=0[/tex] и [tex]g(x)=0[/tex] има два различни реални корена.

Решение:
Нека [tex]f(x)=x^2-2mx+8[/tex]. Тогава
[tex]\frac{D}{4}=m^2-8[/tex]
Ако [tex]m^2\le 8[/tex], т.е. [tex]|m|\le 2\sqrt{2}[/tex], то [tex]f(x)\ge 0[/tex] за всяко реално [tex]x[/tex], в частност за всяко цяло [tex]x[/tex].
Нека [tex]m^2\gt 8[/tex]. Тогава [tex]f[/tex] има корени [tex]x_1\lt x_2[/tex] и [tex]f(x)\lt 0[/tex] точно при [tex]x\in\left(x_1; x_2\right)[/tex], така че условието означава, че този отворен интервал не съдържа цели числа. Изразът не се променя, ако заменим [tex]m[/tex] и [tex]x[/tex] съответно с [tex]-m[/tex] и [tex]-x[/tex], а [tex]-x[/tex] е цяло точно когато [tex]x[/tex] е цяло; следователно множеството от търсените [tex]m[/tex] е симетрично относно [tex]0[/tex] и е достатъчно да разгледаме [tex]m\gt 2\sqrt{2}[/tex]. От формулите на Виет
[tex]x_1+x_2=2m\gt 0,\quad x_1x_2=8\Rightarrow 0\lt x_1\lt 2\sqrt{2}\lt x_2[/tex]
Тъй като [tex]2\lt 2\sqrt{2}\lt 3[/tex], интервалът [tex]\left(x_1; x_2\right)[/tex] не съдържа цели числа тогава и само тогава, когато [tex]x_1\ge 2[/tex] и [tex]x_2\le 3[/tex]. Понеже [tex]x_2\gt 2[/tex], условието [tex]x_1\ge 2[/tex] е еквивалентно на [tex]f(2)\ge 0[/tex]; понеже [tex]x_1\lt 3[/tex], условието [tex]x_2\le 3[/tex] е еквивалентно на [tex]f(3)\ge 0[/tex]:
[tex]f(2)=12-4m\ge 0\Rightarrow m\le 3,\qquad f(3)=17-6m\ge 0\Rightarrow m\le\frac{17}{6}[/tex]
Тъй като [tex]\left(\frac{17}{6}\right)^2=\frac{289}{36}\gt 8[/tex], получаваме [tex]2\sqrt{2}\lt m\le\frac{17}{6}[/tex]. При [tex]m=\frac{17}{6}[/tex] корените са [tex]\frac{8}{3}[/tex] и [tex]3[/tex], а [tex]f(3)=0[/tex] е допустимо, така че този край се включва. Поради симетрията и [tex]-\frac{17}{6}\le m\lt -2\sqrt{2}[/tex]. Заедно с [tex]|m|\le 2\sqrt{2}[/tex] получаваме
[tex]m\in\left[-\frac{17}{6}; \frac{17}{6}\right][/tex]

Решение:
Отделяме точен квадрат:
[tex]f(x)=(2x-a)^2-2a+2[/tex]
Параболата е с клони нагоре, върхът ѝ е при [tex]x_0=\frac{a}{2}[/tex] и [tex]f(x_0)=2-2a[/tex]. Разглеждаме положението на [tex]x_0[/tex] спрямо [tex]\left[0; 2\right][/tex].
Случай [tex]1[/tex]: [tex]\frac{a}{2}\lt 0[/tex], т.е. [tex]a\lt 0[/tex]. Тогава [tex]f[/tex] е растяща в [tex]\left[0; 2\right][/tex] и най-малката ѝ стойност е [tex]f(0)[/tex]:
[tex]a^2-2a+2=3\Rightarrow a^2-2a-1=0\Rightarrow a=1\pm\sqrt{2}[/tex]
Само [tex]a=1-\sqrt{2}\lt 0[/tex] удовлетворява условието на случая.
Случай [tex]2[/tex]: [tex]0\le\frac{a}{2}\le 2[/tex], т.е. [tex]0\le a\le 4[/tex]. Най-малката стойност се достига във върха:
[tex]2-2a=3\Rightarrow a=-\frac{1}{2}\notin\left[0; 4\right][/tex]
така че този случай не дава решение.
Случай [tex]3[/tex]: [tex]\frac{a}{2}\gt 2[/tex], т.е. [tex]a\gt 4[/tex]. Тогава [tex]f[/tex] е намаляваща в [tex]\left[0; 2\right][/tex] и най-малката ѝ стойност е [tex]f(2)[/tex]:
[tex]16-8a+a^2-2a+2=3\Rightarrow a^2-10a+15=0\Rightarrow a=5\pm\sqrt{10}[/tex]
Тъй като [tex]5-\sqrt{10}\lt 2\lt 4[/tex], само [tex]a=5+\sqrt{10}[/tex] удовлетворява условието на случая. Следователно
[tex]a\in\left\{1-\sqrt{2}; 5+\sqrt{10}\right\}[/tex]

Решение:
Оста на симетрия на параболата е правата [tex]x=1[/tex], следователно
[tex]f(x)=a(x-1)^2+k,\quad a\lt 0[/tex]
Параболата се допира до (невертикалната) права точно когато уравнението [tex]a(x-1)^2+k=-2x-3[/tex], т.е. [tex]ax^2+(2-2a)x+a+k+3=0[/tex], има двоен корен:
[tex]\frac{D}{4}=(1-a)^2-a(a+k+3)=1-5a-ak=0\Rightarrow k=\frac{1-5a}{a}=\frac{1}{a}-5[/tex]
Параболата пресича ординатната ос в точката с ордината
[tex]f(0)=a+k=a+\frac{1}{a}-5[/tex]
При [tex]a\lt 0[/tex], от неравенството между средно аритметично и средно геометрично,
[tex]a+\frac{1}{a}=-\left(|a|+\frac{1}{|a|}\right)\le -2[/tex]
с равенство само при [tex]a=-1[/tex]. Следователно най-голямата стойност на [tex]f(0)[/tex] е [tex]-2-5=-7[/tex] и се достига при [tex]a=-1[/tex], [tex]k=-6[/tex]:
[tex]f(x)=-(x-1)^2-6=-x^2+2x-7[/tex]
Проверка: [tex]-x^2+2x-7=-2x-3\Leftrightarrow (x-2)^2=0[/tex], така че параболата се допира до правата в точката [tex](2; -7)[/tex].