Графики на функции - много трудни задачи с решения

Решение:
Общата точка има абсциса [tex]x\ne 0[/tex], за която [tex]f(x)=g(x)[/tex].
Случай [tex]x\lt 0[/tex]. Тогава
[tex]f(x)=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\gt 0,\qquad g(x)=\frac{1}{x}\lt 0[/tex]
т.е. параболата е над оста [tex]Ox[/tex], а левият клон на хиперболата е под нея: няма общи точки.
Случай [tex]x\gt 0[/tex]. Разглеждаме функцията
[tex]h(x)=f(x)-g(x)=x^2+x+1-\frac{1}{x}[/tex]
В интервала [tex]\left(0; +\infty\right)[/tex] функциите [tex]x^2[/tex], [tex]x[/tex] и [tex]-\frac{1}{x}[/tex] са растящи, затова [tex]h[/tex] е строго растяща и има най-много една нула там. (Графично: параболата расте, а този клон на хиперболата намалява, затова те се пресичат най-много веднъж.)
Съществуване на нула:
[tex]h\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+1-2=-\frac{1}{4}\lt 0,\qquad h(1)=1+1+1-1=2\gt 0[/tex]
Функцията [tex]h[/tex] е непрекъсната в [tex]\left[\frac{1}{2}; 1\right][/tex], затова се анулира в някоя точка [tex]x_0[/tex], за която [tex]\frac{1}{2}\lt x_0\lt 1[/tex] (т.е. [tex]x_0[/tex] е коренът на [tex]x^3+x^2+x-1=0[/tex] в този интервал).
Следователно двете графики имат точно една обща точка [tex]\left(x_0; \frac{1}{x_0}\right)[/tex] и тя лежи в първи квадрант.

Решение:
Изразите под модулите се анулират в точките [tex]0\lt a\lt b\lt a+b[/tex]. При [tex]0\le x\le a+b[/tex]
[tex]g(x)=x+(a+b-x)=a+b[/tex]
т.е. там графиката на [tex]g[/tex] е хоризонтална отсечка. За [tex]f[/tex]:
[tex]0\le x\le a:\quad f(x)=(a-x)+(b-x)=a+b-2x[/tex]
[tex]a\le x\le b:\quad f(x)=(x-a)+(b-x)=b-a[/tex]
[tex]b\le x\le a+b:\quad f(x)=(x-a)+(x-b)=2x-a-b[/tex]
Графиката на [tex]f[/tex] слиза от [tex](0; a+b)[/tex] до [tex](a; b-a)[/tex], остава хоризонтална до [tex](b; b-a)[/tex] и се изкачва до [tex](a+b; a+b)[/tex]. Следователно в [tex]\left[0; a+b\right][/tex] графиките се срещат само в крайните точки, а между тях [tex]f\lt g[/tex].
Заградената фигура е ограничена отгоре от отсечката [tex]y=a+b[/tex], а отдолу от тази начупена линия. Тя е равнобедрен трапец с основи [tex]a+b[/tex] и [tex]b-a[/tex] и височина [tex](a+b)-(b-a)=2a[/tex]:
[tex]S=\frac{(a+b)+(b-a)}{2}\cdot 2a=b\cdot 2a=2ab[/tex]
Проверка по части: два триъгълника с лице [tex]\frac{1}{2}\cdot a\cdot 2a=a^2[/tex] всеки и правоъгълник с лице [tex](b-a)\cdot 2a[/tex]:
[tex]2a^2+2a(b-a)=2a^2+2ab-2a^2=2ab[/tex]

Решение:
Решенията са абсцисите на общите точки на синусоидата [tex]y=\sin x[/tex] и правата [tex]y=\frac{x}{13}[/tex]. Двете функции са нечетни, затова решенията са симетрични спрямо [tex]0[/tex]: [tex]x=0[/tex] е решение и е достатъчно да преброим положителните решения и да удвоим броя им.
Тъй като [tex]\left|\sin x\right|\le 1[/tex], всяко решение удовлетворява [tex]\left|x\right|\le 13[/tex]. При [tex]x\gt 0[/tex] в интервалите [tex]\left[\pi; 2\pi\right][/tex] и [tex]\left[3\pi; 4\pi\right][/tex] имаме [tex]\sin x\le 0\lt\frac{x}{13}[/tex], затова там няма решения. Да отбележим, че [tex]4\pi\lt 13\lt\frac{9\pi}{2}[/tex], защото [tex]\frac{26}{9}\lt\pi\lt\frac{13}{4}[/tex].
Нека [tex]h(x)=\sin x-\frac{x}{13}[/tex]. Където [tex]\sin x\gt 0[/tex], имаме [tex]h''(x)=-\sin x\lt 0[/tex], затова там [tex]h[/tex] е вдлъбната и има най-много две нули във всеки такъв интервал (права пресича всяка дъга на синусоидата в най-много две точки).
В интервала [tex]\left[0; \pi\right][/tex]:
[tex]h(0)=0,\qquad h'(0)=1-\frac{1}{13}\gt 0,\qquad h(\pi)=-\frac{\pi}{13}\lt 0[/tex]
Синусоидата започва над правата и завършва под нея, затова освен [tex]x=0[/tex] има нула в [tex]\left(0; \pi\right)[/tex], а понеже [tex]h[/tex] има най-много две нули в [tex]\left[0; \pi\right][/tex], в [tex]\left(0; \pi\right)[/tex] има точно едно решение.
В интервала [tex]\left[2\pi; 3\pi\right][/tex] (използваме [tex]5\pi\lt 26[/tex]):
[tex]h(2\pi)=-\frac{2\pi}{13}\lt 0,\qquad h\left(\frac{5\pi}{2}\right)=1-\frac{5\pi}{26}\gt 0,\qquad h(3\pi)=-\frac{3\pi}{13}\lt 0[/tex]
затова има нула във всеки от интервалите [tex]\left(2\pi; \frac{5\pi}{2}\right)[/tex] и [tex]\left(\frac{5\pi}{2}; 3\pi\right)[/tex], а общо най-много две: точно две решения.
В интервала [tex]\left[4\pi; 13\right][/tex], като използваме [tex]\sin t\le t[/tex] при [tex]t\ge 0[/tex] и [tex]\frac{25}{8}\lt\pi[/tex]:
[tex]\sin x=\sin (x-4\pi)\le x-4\pi\le 13-4\pi\lt\frac{1}{2}\lt\frac{12}{13}\lt\frac{4\pi}{13}\le\frac{x}{13}[/tex]
затова там няма решения. Следователно има [tex]1+2=3[/tex] положителни решения, [tex]3[/tex] отрицателни и [tex]x=0[/tex]:
[tex]3+3+1=7[/tex]