Диофантови уравнения - трудни задачи с решения

Решение:
Уравнението има решение точно когато числото [tex]n=c-3[/tex] може да се запише като [tex]n=5a+7b[/tex] с цели [tex]a,b\ge 0[/tex]. При [tex]n=23[/tex], т.е. [tex]c=26[/tex], трябва [tex]7b\le 23[/tex], следователно [tex]b\in\{0; 1; 2; 3\}[/tex] и
[tex]23-7b\in\{23; 16; 9; 2\}[/tex]
Никое от тези числа не се дели на [tex]5[/tex], следователно при [tex]c=26[/tex] уравнението няма решение.
Нека сега [tex]n\ge 24[/tex]. Числата [tex]7b[/tex] при [tex]b=0; 1; 2; 3; 4[/tex] дават всички възможни остатъци по модул [tex]5[/tex]:
[tex]0\equiv 0,\quad 7\equiv 2,\quad 14\equiv 4,\quad 21\equiv 1,\quad 28\equiv 3\pmod 5[/tex]
Избираме [tex]b\in\{0; 1; 2; 3; 4\}[/tex] така, че [tex]7b\equiv n\pmod 5[/tex]. Ако [tex]b\le 3[/tex], то [tex]7b\le 21\lt n[/tex]. Ако [tex]b=4[/tex], то [tex]n\equiv 3\pmod 5[/tex] и заедно с [tex]n\ge 24[/tex] това дава [tex]n\ge 28=7b[/tex]. И в двата случая [tex]n-7b[/tex] е неотрицателно кратно на [tex]5[/tex], т.е. [tex]n-7b=5a[/tex] с [tex]a\ge 0[/tex].
Следователно уравнението има решение за всяко [tex]c\ge 27[/tex] и най-голямото [tex]c[/tex], за което то няма решение, е [tex]c=26[/tex].

Решение:
Записваме уравнението във вида
[tex](x-y)(x+y)=400[/tex]
Числата [tex]x-y[/tex] и [tex]x+y[/tex] са с еднаква четност, защото сборът им [tex]2x[/tex] е четен; произведението им е четно, следователно и двете са четни. Полагаме [tex]x-y=2u[/tex], [tex]x+y=2v[/tex] с цели [tex]u[/tex] и [tex]v[/tex]; тогава
[tex]uv=100,\qquad x=u+v,\quad y=v-u[/tex]
Обратно, всяка наредена двойка цели числа [tex](u; v)[/tex] с [tex]uv=100[/tex] дава решението [tex](x; y)=(u+v; v-u)[/tex], като различни двойки дават различни решения, защото [tex]u=\frac{x-y}{2}[/tex] и [tex]v=\frac{x+y}{2}[/tex] се определят от [tex](x; y)[/tex]. Следователно трябва да преброим наредените двойки цели числа [tex](u; v)[/tex] с [tex]uv=100[/tex].
Числото [tex]100=2^2\cdot 5^2[/tex] има [tex](2+1)(2+1)=9[/tex] положителни делителя, затова има [tex]9[/tex] такива двойки с [tex]u,v\gt 0[/tex] и [tex]9[/tex] двойки с [tex]u,v\lt 0[/tex]. Следователно уравнението има [tex]18[/tex] целочислени решения (при всички комбинации на знаците):
[tex](\pm 20; 0),\ (\pm 25; \pm 15),\ (\pm 29; \pm 21),\ (\pm 52; \pm 48),\ (\pm 101; \pm 99)[/tex]

Решение:
Групираме събираемите, съдържащи [tex]x[/tex]:
[tex]x(y-3)=2y^2+1[/tex]
Ако [tex]y=3[/tex], получаваме [tex]0=19[/tex], което е невярно. Следователно [tex]y\ne 3[/tex] и тъй като [tex]2y^2+1=(y-3)(2y+6)+19[/tex], то
[tex]x=\frac{2y^2+1}{y-3}=2y+6+\frac{19}{y-3}[/tex]
Следователно [tex]x[/tex] е цяло число точно когато [tex]19[/tex] се дели на [tex]y-3[/tex], т.е. [tex]y-3\in\{1; -1; 19; -19\}[/tex]:
[tex]y-3=1\Rightarrow y=4,\ x=8+6+19=33[/tex]
[tex]y-3=-1\Rightarrow y=2,\ x=4+6-19=-9[/tex]
[tex]y-3=19\Rightarrow y=22,\ x=44+6+1=51[/tex]
[tex]y-3=-19\Rightarrow y=-16,\ x=-32+6-1=-27[/tex]
И четирите двойки удовлетворяват уравнението (например [tex]33\cdot 4=132=2\cdot 16+99+1[/tex] и [tex](-27)(-16)=432=2\cdot 256-81+1[/tex]), следователно решенията са [tex](33; 4)[/tex], [tex](-9; 2)[/tex], [tex](51; 22)[/tex] и [tex](-27; -16)[/tex].

Решение:
Всеки множител е по-голям от [tex]1[/tex], а множителят [tex]1+\frac{1}{n}[/tex] намалява с нарастването на [tex]n[/tex]. Ако [tex]a=1[/tex], първият множител вече е равен на [tex]2[/tex] и произведението е по-голямо от [tex]2[/tex]. Ако [tex]a\ge 4[/tex], то [tex]b,c\ge 4[/tex] и
[tex]\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\left(1+\frac{1}{c}\right)\le\left(\frac{5}{4}\right)^3=\frac{125}{64}\lt 2[/tex]
Следователно [tex]a=2[/tex] или [tex]a=3[/tex].
Случай [tex]a=2[/tex]. Тогава [tex]\left(1+\frac{1}{b}\right)\left(1+\frac{1}{c}\right)=\frac{4}{3}[/tex], т.е. [tex]3(b+1)(c+1)=4bc[/tex], което е еквивалентно на
[tex]bc-3b-3c-3=0\iff (b-3)(c-3)=12[/tex]
Тъй като вторият множител е по-голям от [tex]1[/tex], имаме [tex]1+\frac{1}{b}\lt\frac{4}{3}[/tex], т.е. [tex]b\gt 3[/tex]. Значи [tex]1\le b-3\le c-3[/tex] и [tex](b-3; c-3)\in\{(1; 12),\ (2; 6),\ (3; 4)\}[/tex], откъдето получаваме тройките [tex](2; 4; 15)[/tex], [tex](2; 5; 9)[/tex], [tex](2; 6; 7)[/tex].
Случай [tex]a=3[/tex]. Тогава [tex]\left(1+\frac{1}{b}\right)\left(1+\frac{1}{c}\right)=\frac{3}{2}[/tex], т.е. [tex]2(b+1)(c+1)=3bc[/tex], което е еквивалентно на
[tex]bc-2b-2c-2=0\iff (b-2)(c-2)=6[/tex]
Тук [tex]b\ge a=3[/tex], затова [tex]1\le b-2\le c-2[/tex] и [tex](b-2; c-2)\in\{(1; 6),\ (2; 3)\}[/tex], откъдето получаваме тройките [tex](3; 3; 8)[/tex] и [tex](3; 4; 5)[/tex].
И петте тройки удовлетворяват [tex]a\le b\le c[/tex], следователно търсените тройки са [tex]5[/tex].

Решение:
Като съберем първото уравнение с удвоеното второ, получаваме
[tex](x+y+z)^2=138+2\cdot 131=400\Rightarrow x+y+z=\pm 20[/tex]
Като извадим второто уравнение от първото и удвоим, получаваме
[tex](x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=2\cdot 138-2\cdot 131=14[/tex]
Всеки от тези квадрати е най-много [tex]14[/tex], затова е някое от числата [tex]0; 1; 4; 9[/tex], а единственият начин [tex]14[/tex] да се запише като сбор на три такива квадрата е [tex]9+4+1[/tex]. Следователно трите числа са различни и когато ги подредим по големина, двете разлики между съседните са [tex]1[/tex] и [tex]2[/tex] в някакъв ред (най-голямата разлика е [tex]3[/tex]). Значи числата са [tex]t,\ t+1,\ t+3[/tex] или [tex]t,\ t+2,\ t+3[/tex] за някое цяло [tex]t[/tex].
В първия случай сборът е [tex]3t+4=\pm 20[/tex], откъдето [tex]t=-8[/tex] (стойността [tex]t=\frac{16}{3}[/tex] не е цяло число): числата [tex]-8; -7; -5[/tex]. Във втория случай от [tex]3t+5=\pm 20[/tex] получаваме [tex]t=5[/tex] (стойността [tex]t=-\frac{25}{3}[/tex] не е цяло число): числата [tex]5; 7; 8[/tex].
Проверка: [tex]25+49+64=138[/tex] и [tex]35+56+40=131[/tex]; за [tex]-8; -7; -5[/tex] стойностите са същите. Двете уравнения са симетрични, затова всяка подредба на всяка от двете тройки числа е решение и броят на наредените тройки е
[tex]2\cdot 3!=12[/tex]

Решение:
Ако [tex]n=1[/tex], то [tex]3^m=3[/tex] и [tex]m=1[/tex]. Нека [tex]n\ge 2[/tex]. Тогава [tex]3^m=1+2^n[/tex] дава остатък [tex]1[/tex] при деление на [tex]4[/tex], а [tex]3\equiv -1\pmod 4[/tex]:
[tex]3^m\equiv (-1)^m\equiv 1\pmod 4[/tex]
следователно [tex]m[/tex] е четно: [tex]m=2k[/tex], [tex]k\ge 1[/tex]. Тогава
[tex]2^n=3^{2k}-1=\left(3^k-1\right)\left(3^k+1\right)[/tex]
Двата множителя са положителни делители на степен на [tex]2[/tex], следователно и те са степени на [tex]2[/tex], и се различават с [tex]2[/tex]. По-малкият от тях е [tex]3^k-1\ge 2[/tex]. Ако той беше поне [tex]4[/tex], двата множителя щяха да се делят на [tex]4[/tex], а значи и разликата им [tex]2[/tex], което не е вярно. Следователно
[tex]3^k-1=2\Rightarrow k=1,\quad m=2,\quad 2^n=2\cdot 4=8,\quad n=3[/tex]
Проверка: [tex]3^1-2^1=1[/tex] и [tex]3^2-2^3=1[/tex]. Решенията са [tex](1; 1)[/tex] и [tex](2; 3)[/tex].

Решение:
Сравняваме дясната страна със съседните кубове [tex]y^3[/tex] и [tex](y+1)^3[/tex]:
[tex]x^3-y^3=2y^2+1\gt 0[/tex]
[tex](y+1)^3-x^3=\left(y^3+3y^2+3y+1\right)-\left(y^3+2y^2+1\right)=y^2+3y=y(y+3)[/tex]
Ако [tex]y\ge 1[/tex] или [tex]y\le -4[/tex], то [tex]y(y+3)\gt 0[/tex] и [tex]y^3\lt x^3\lt (y+1)^3[/tex], т.е. [tex]y\lt x\lt y+1[/tex], което е невъзможно за цяло [tex]x[/tex]. Остава да проверим [tex]y\in\{-3; -2; -1; 0\}[/tex]:
[tex]y=-3:\quad x^3=-27+18+1=-8\Rightarrow x=-2[/tex]
[tex]y=-2:\quad x^3=-8+8+1=1\Rightarrow x=1[/tex]
[tex]y=-1[/tex]: [tex]x^3=-1+2+1=2[/tex], което няма цяло решение;
[tex]y=0:\quad x^3=1\Rightarrow x=1[/tex]
Решенията са [tex](1; 0)[/tex], [tex](1; -2)[/tex] и [tex](-2; -3)[/tex].