Системи нелинейни уравнения - много трудни задачи с решения

Решение:
Разглеждаме [tex]z[/tex] като известно. От системата [tex]x+y=4-z[/tex] и [tex]xy=\frac{16+z^2}{2}[/tex], откъдето
[tex](x-y)^2=(x+y)^2-4xy=(4-z)^2-2\left(16+z^2\right)=-z^2-8z-16=-(z+4)^2[/tex]
Лявата страна е [tex]\ge 0[/tex], а дясната е [tex]\le 0[/tex], следователно и двете са равни на [tex]0[/tex]:
[tex]z=-4,\quad x=y,\quad x+y=4-z=8\Rightarrow x=y=4[/tex]
Проверка: [tex]4+4-4=4[/tex] и [tex]2\cdot 4\cdot 4-(-4)^2=32-16=16[/tex]. Макар уравненията да са две, а неизвестните три, системата има единствено реално решение: [tex]\left(4; 4; -4\right)[/tex].

Решение:
Записваме уравненията във вида
[tex]a^{3}-3ab^{2}=11,\qquad 3a^{2}b-b^{3}=-2[/tex]
Повдигаме двете уравнения на квадрат и ги събираме. Отляво получаваме
[tex]\left(a^{3}-3ab^{2}\right)^{2}+\left(3a^{2}b-b^{3}\right)^{2}=a^{6}+3a^{4}b^{2}+3a^{2}b^{4}+b^{6}=\left(a^{2}+b^{2}\right)^{3}[/tex]
а отдясно [tex]11^{2}+(-2)^{2}=125[/tex]. Тъй като [tex]a^{2}+b^{2}[/tex] е реално число,
[tex]\left(a^{2}+b^{2}\right)^{3}=125\Rightarrow a^{2}+b^{2}=5[/tex]
Такива числа съществуват, например [tex]a=-1[/tex], [tex]b=2[/tex]: [tex]-1=3\cdot (-1)\cdot 4+11[/tex] и [tex]8=3\cdot 1\cdot 2+2[/tex].
Забележка: това е тъждеството [tex]\left|(a+bi)^{3}\right|^{2}=\left(a^{2}+b^{2}\right)^{3}[/tex], защото [tex](a+bi)^{3}=\left(a^{3}-3ab^{2}\right)+\left(3a^{2}b-b^{3}\right)i[/tex].

Решение:
Събираме първото и третото уравнение и изваждаме удвоеното второ:
[tex]\left(x^6-2x^5+x^4\right)+\left(y^6-2y^5+y^4\right)+\left(z^6-2z^5+z^4\right)=3-6+3=0[/tex]
За всяко реално [tex]t[/tex]
[tex]t^6-2t^5+t^4=t^4(t-1)^2\ge 0[/tex]
Сбор на три неотрицателни числа е [tex]0[/tex] само ако всяко от тях е [tex]0[/tex], следователно [tex]x^4(x-1)^2=y^4(y-1)^2=z^4(z-1)^2=0[/tex], т.е. всяко от числата [tex]x,y,z[/tex] е [tex]0[/tex] или [tex]1[/tex].
Тогава [tex]x^4+y^4+z^4[/tex] е равно на броя на неизвестните, равни на [tex]1[/tex]. Тъй като тази сума е [tex]3[/tex], и трите са равни на [tex]1[/tex].
Обратно, [tex]x=y=z=1[/tex] удовлетворява и трите уравнения, следователно [tex]\left(1; 1; 1\right)[/tex] е единственото реално решение.

Решение:
Като съберем и извадим уравненията, получаваме еквивалентната система
[tex]\left\{\begin{array}{l} x^3+y^3=7(x+y) \\ x^3-y^3=3(x-y) \end{array}\right.\iff\left\{\begin{array}{l} (x+y)\left(x^2-xy+y^2-7\right)=0 \\ (x-y)\left(x^2+xy+y^2-3\right)=0 \end{array}\right.[/tex]
Комбинираме по един множител от всяко уравнение. Случай [tex]1[/tex]: [tex]x+y=0[/tex] и [tex]x-y=0[/tex], откъдето [tex]\left(0; 0\right)[/tex].
Случай [tex]2[/tex]: [tex]x+y=0[/tex] и [tex]x^2+xy+y^2=3[/tex]. При [tex]y=-x[/tex] получаваме [tex]x^2=3[/tex]: [tex]\left(\sqrt{3}; -\sqrt{3}\right)[/tex] и [tex]\left(-\sqrt{3}; \sqrt{3}\right)[/tex].
Случай [tex]3[/tex]: [tex]x-y=0[/tex] и [tex]x^2-xy+y^2=7[/tex]. Тогава [tex]x^2=7[/tex]: [tex]\left(\sqrt{7}; \sqrt{7}\right)[/tex] и [tex]\left(-\sqrt{7}; -\sqrt{7}\right)[/tex].
Случай [tex]4[/tex]: [tex]x^2-xy+y^2=7[/tex] и [tex]x^2+xy+y^2=3[/tex]. Тогава [tex]xy=-2[/tex], [tex]x^2+y^2=5[/tex] и [tex](x+y)^2=1[/tex].
Ако [tex]x+y=1[/tex], то [tex]x,y[/tex] са корените на [tex]t^2-t-2=0[/tex]: [tex]\left(2; -1\right)[/tex] и [tex]\left(-1; 2\right)[/tex]. Ако [tex]x+y=-1[/tex], те са корените на [tex]t^2+t-2=0[/tex]: [tex]\left(1; -2\right)[/tex] и [tex]\left(-2; 1\right)[/tex].
Случаите не се припокриват, защото [tex]xy[/tex] е равно съответно на [tex]0[/tex], [tex]-3[/tex], [tex]7[/tex] и [tex]-2[/tex] в случаи [tex]1[/tex], [tex]2[/tex], [tex]3[/tex], [tex]4[/tex]. Следователно броят на решенията е
[tex]1+2+2+4=9[/tex]

Решение:
Левите страни са неотрицателни, следователно и десните са неотрицателни: [tex]x\ge 0[/tex], [tex]y\ge 0[/tex], [tex]z\ge 0[/tex]. За всяко [tex]t\ge 0[/tex]
[tex]t-\frac{2t^2}{1+t^2}=\frac{t+t^3-2t^2}{1+t^2}=\frac{t(t-1)^2}{1+t^2}\ge 0[/tex]
т.е. [tex]\frac{2t^2}{1+t^2}\le t[/tex], като равенство има само при [tex]t=0[/tex] или [tex]t=1[/tex]. Прилагаме това за [tex]t=x[/tex], [tex]t=y[/tex], [tex]t=z[/tex] в трите уравнения и получаваме [tex]y\le x[/tex], [tex]z\le y[/tex], [tex]x\le z[/tex]. Следователно
[tex]x\le z\le y\le x\Rightarrow x=y=z[/tex]
Тогава първото уравнение става [tex]\frac{2x^2}{1+x^2}=x[/tex], т.е. [tex]x(x-1)^2=0[/tex], откъдето [tex]x=0[/tex] или [tex]x=1[/tex]. И двете тройки са решения: [tex]\frac{2\cdot 0}{1+0}=0[/tex] и [tex]\frac{2\cdot 1}{1+1}=1[/tex]. Следователно единствените реални решения са [tex]\left(0; 0; 0\right)[/tex] и [tex]\left(1; 1; 1\right)[/tex].

Решение:
Повдигаме първото уравнение на квадрат и изваждаме второто:
[tex]6xy=(\alpha+2)^2-(5\alpha-2)=\alpha^2-\alpha+6\Rightarrow xy=\frac{\alpha^2-\alpha+6}{6}[/tex]
Сега намираме за кои [tex]\alpha[/tex] системата има реални решения. Полагаме [tex]u=3x[/tex], [tex]v=y[/tex]; тогава [tex]u+v=\alpha+2[/tex] и [tex]uv=3xy=\frac{\alpha^2-\alpha+6}{2}[/tex]. Реални [tex]u,v[/tex] съществуват точно когато квадратното уравнение [tex]t^2-(\alpha+2)t+\frac{\alpha^2-\alpha+6}{2}=0[/tex] има реални корени:
[tex](\alpha+2)^2-2\left(\alpha^2-\alpha+6\right)\ge 0\iff \alpha^2-6\alpha+8\le 0\iff \alpha\in\left[2; 4\right][/tex]
Обратно, за такива [tex]\alpha[/tex] тези [tex]u,v[/tex] удовлетворяват [tex]u+v=\alpha+2[/tex] и [tex]u^2+v^2=(u+v)^2-2uv=5\alpha-2[/tex], т.е. дават решение на системата.
Квадратната функция [tex]f(\alpha)=\frac{\alpha^2-\alpha+6}{6}[/tex] има положителен старши коефициент и връх при [tex]\alpha=\frac{1}{2}[/tex], затова е растяща в [tex]\left[2; 4\right][/tex]. Най-голямата си стойност приема при [tex]\alpha=4[/tex], където [tex]xy=3[/tex] (решението е [tex]x=1[/tex], [tex]y=3[/tex]).

Решение:
Дефиниционна област: [tex]x\gt 0[/tex], [tex]x+y\gt 0[/tex]. Първото уравнение е [tex]\log_2(x+y)=\log_2(2x)[/tex], т.е. [tex]x+y=2x[/tex], откъдето [tex]y=x[/tex] (тогава [tex]x+y=2x\gt 0[/tex] е изпълнено автоматично), а второто уравнение става [tex](x-a)^2+a^2=1[/tex]. Системата е еквивалентна на
[tex]\left\{\begin{array}{l} y=x \\ x\gt 0 \\ (x-a)^2=1-a^2 \end{array}\right.[/tex]
следователно уравнението [tex](x-a)^2=1-a^2[/tex] трябва да има точно един положителен корен. Ако [tex]|a|\gt 1[/tex], корени няма. Ако [tex]a=\pm 1[/tex], единственият корен е [tex]x=a[/tex]; той е положителен само при [tex]a=1[/tex], така че стойността [tex]a=1[/tex] е подходяща, а [tex]a=-1[/tex] не е.
Ако [tex]|a|\lt 1[/tex], има два различни корена [tex]x_{1,2}=a\pm\sqrt{1-a^2}[/tex] и трябва да са изпълнени двете условия
[tex]a+\sqrt{1-a^2}\gt 0,\qquad a-\sqrt{1-a^2}\le 0[/tex]
Първото е вярно при [tex]a\ge 0[/tex]; при [tex]a\lt 0[/tex] то означава [tex]1-a^2\gt a^2[/tex], т.е. [tex]a\gt -\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex]. Второто е вярно при [tex]a\le 0[/tex]; при [tex]a\gt 0[/tex] то означава [tex]a^2\le 1-a^2[/tex], т.е. [tex]a\le\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex]. Следователно [tex]-\frac{\sqrt{2}}{2}\lt a\le\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex].
В краищата: при [tex]a=\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex] корените са [tex]\sqrt{2}[/tex] и [tex]0[/tex] и в дефиниционната област е само [tex]x=\sqrt{2}[/tex]; при [tex]a=-\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex] корените са [tex]0[/tex] и [tex]-\sqrt{2}[/tex] и решение няма. Окончателно
[tex]a\in\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}\right]\cup\left\{1\right\}[/tex]

Решение:
Записваме уравненията във вида [tex]y\left(1-x^{2}\right)=2x[/tex], [tex]z\left(1-y^{2}\right)=2y[/tex], [tex]x\left(1-z^{2}\right)=2z[/tex]. Ако [tex]x^{2}=1[/tex], от първото уравнение [tex]2x=0[/tex] — противоречие; аналогично [tex]y^{2}\ne 1[/tex] и [tex]z^{2}\ne 1[/tex]. Следователно системата е еквивалентна на
[tex]y=\frac{2x}{1-x^{2}},\qquad z=\frac{2y}{1-y^{2}},\qquad x=\frac{2z}{1-z^{2}}[/tex]
Всяко реално число [tex]x[/tex] се записва по единствен начин като [tex]x=\operatorname{tg} u[/tex], където [tex]u\in\left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)[/tex]. Тъй като [tex]x\ne\pm 1[/tex], от формулата за тангенс на удвоен ъгъл [tex]y=\frac{2\operatorname{tg} u}{1-\operatorname{tg} ^{2}u}=\operatorname{tg} 2u[/tex]; аналогично, тъй като [tex]y\ne\pm 1[/tex] и [tex]z\ne\pm 1[/tex],
[tex]z=\operatorname{tg} 4u,\qquad x=\operatorname{tg} 8u[/tex]
Следователно [tex]\operatorname{tg} 8u=\operatorname{tg} u[/tex], т.е. [tex]8u=u+k\pi[/tex], [tex]u=\frac{k\pi}{7}[/tex], [tex]k\in\mathbb{Z}[/tex]. В интервала [tex]\left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)[/tex] това дава [tex]k=-3,-2,\ldots,3[/tex]: [tex]7[/tex] стойности на [tex]u[/tex], т.е. [tex]7[/tex] различни стойности на [tex]x[/tex], като всяка от тях определя еднозначно [tex]y[/tex] и [tex]z[/tex].
Обратно, нека [tex]u=\frac{k\pi}{7}[/tex]. Число [tex]\frac{j\pi}{7}[/tex] с [tex]j\in\mathbb{Z}[/tex] никога не е равно на [tex]\frac{\pi}{2}+m\pi[/tex] или на [tex]\frac{\pi}{4}+\frac{m\pi}{2}[/tex] с [tex]m\in\mathbb{Z}[/tex], защото това би означавало [tex]2j=7(2m+1)[/tex] или [tex]4j=7(2m+1)[/tex] — четно число, равно на нечетно. Прилагайки това за [tex]j=k,\ 2k,\ 4k[/tex], получаваме, че [tex]x=\operatorname{tg} u[/tex], [tex]y=\operatorname{tg} 2u[/tex], [tex]z=\operatorname{tg} 4u[/tex] са дефинирани и никое от тях не е равно на [tex]\pm 1[/tex].
Първите две уравнения са изпълнени по формулата за удвоен ъгъл, а третото — защото
[tex]\frac{2\operatorname{tg} 4u}{1-\operatorname{tg} ^{2}4u}=\operatorname{tg} 8u=\operatorname{tg} \left(u+k\pi\right)=\operatorname{tg} u[/tex]
Следователно системата има точно [tex]7[/tex] реални решения, например [tex]\left(0; 0; 0\right)[/tex] и [tex]\left(\operatorname{tg} \frac{\pi}{7}; \operatorname{tg} \frac{2\pi}{7}; \operatorname{tg} \frac{4\pi}{7}\right)[/tex].