Системи нелинейни уравнения - трудни задачи с решения

Решение:
Първото уравнение не бива да се дели на [tex]x-y[/tex], защото този израз може да е нула и ще се изгубят решения. Пренасяме всичко в лявата страна и разлагаме на множители:
[tex](x-y)(x^2+xy+y^2)-8(x-y)=0\iff (x-y)(x^2+xy+y^2-8)=0[/tex]
Ако [tex]x=y[/tex], второто уравнение дава [tex]2x^2=8[/tex], т.е. [tex]x=\pm 2[/tex]: двойките [tex](2; 2)[/tex] и [tex](-2; -2)[/tex].
Ако [tex]x^2+xy+y^2=8[/tex], като извадим второто уравнение [tex]x^2+y^2=8[/tex], получаваме [tex]xy=0[/tex]. При [tex]x=0[/tex] имаме [tex]y^2=8[/tex], [tex]y=\pm 2\sqrt{2}[/tex]; при [tex]y=0[/tex] имаме [tex]x=\pm 2\sqrt{2}[/tex].
Всичките шест двойки удовлетворяват двете уравнения, следователно решенията са
[tex](2; 2),\ (-2; -2),\ (0; 2\sqrt{2}),\ (0; -2\sqrt{2}),\ (2\sqrt{2}; 0),\ (-2\sqrt{2}; 0)[/tex]

Решение:
Събираме двете уравнения и полагаме [tex]u=x+y[/tex]:
[tex]x^2+2xy+y^2+(x+y)=72\iff u^2+u-72=0\Rightarrow u=8\text{ или }u=-9[/tex]
Ако [tex]x+y=-9[/tex], от второто уравнение [tex]xy=\frac{38+9}{2}=\frac{47}{2}[/tex]. Тогава [tex]x[/tex] и [tex]y[/tex] биха били корени на уравнението [tex]t^2+9t+\frac{47}{2}=0[/tex], чиято дискриминанта е [tex]81-94\lt 0[/tex], следователно в този случай няма реални решения.
Ако [tex]x+y=8[/tex], то [tex]xy=\frac{38-8}{2}=15[/tex] и по формулите на Виет [tex]x[/tex] и [tex]y[/tex] са корените на
[tex]t^2-8t+15=0\Rightarrow t_1=3,\ t_2=5[/tex]
Решенията са [tex](3; 5)[/tex] и [tex](5; 3)[/tex], следователно [tex]\frac{x}{y}[/tex] е равно на [tex]\frac{3}{5}[/tex] или на [tex]\frac{5}{3}[/tex]. Най-голямата стойност е [tex]\frac{5}{3}[/tex].

Решение:
Разлагаме на множители лявата страна на първото уравнение:
[tex]x^4+x^2y^2+y^4=(x^2+y^2)^2-x^2y^2=(x^2+xy+y^2)(x^2-xy+y^2)[/tex]
От второто уравнение първото добива вида [tex]37(x^2-xy+y^2)=481[/tex], откъдето [tex]x^2-xy+y^2=13[/tex]. Следователно системата е еквивалентна на
[tex]\left\{\begin{array}{l} x^2+xy+y^2=37 \\ x^2-xy+y^2=13 \end{array}\right.[/tex]
Като извадим уравненията, получаваме [tex]2xy=24[/tex], т.е. [tex]xy=12[/tex], а като ги съберем – [tex]2(x^2+y^2)=50[/tex], т.е. [tex]x^2+y^2=25[/tex]. Тогава
[tex](x+y)^2=x^2+y^2+2xy=25+24=49\Rightarrow x+y=\pm 7[/tex]
Ако [tex]x+y=7[/tex] и [tex]xy=12[/tex], то [tex]x[/tex] и [tex]y[/tex] са корените на уравнението [tex]t^2-7t+12=0[/tex], т.е. [tex]3[/tex] и [tex]4[/tex].
Ако [tex]x+y=-7[/tex] и [tex]xy=12[/tex], те са корените на уравнението [tex]t^2+7t+12=0[/tex], т.е. [tex]-3[/tex] и [tex]-4[/tex].
Решенията са [tex](3; 4)[/tex], [tex](4; 3)[/tex], [tex](-3; -4)[/tex], [tex](-4; -3)[/tex].

Решение:
Второто уравнение е [tex]xy(x-y)=6[/tex]. Използваме тъждеството
[tex]x^{3}-y^{3}=(x-y)^{3}+3xy(x-y)[/tex]
Тогава първото уравнение става
[tex](x-y)^{3}+3\cdot 6=26\Rightarrow (x-y)^{3}=8[/tex]
Реалният кубичен корен е единствен, затова [tex]x-y=2[/tex] и тогава [tex]xy=\frac{6}{2}=3[/tex]. При [tex]x=y+2[/tex] получаваме
[tex]y(y+2)=3\Rightarrow y^{2}+2y-3=0\Rightarrow y_{1}=1,\ y_{2}=-3[/tex]
откъдето [tex]x_{1}=3[/tex], [tex]x_{2}=-1[/tex]. Проверка: [tex]27-1=26[/tex], [tex]3\cdot 2=6[/tex] и [tex]-1+27=26[/tex], [tex]3\cdot 2=6[/tex].
Решенията са [tex](3; 1)[/tex] и [tex](-1; -3)[/tex].

Решение:
Тъй като [tex]5\cdot 44=4\cdot 55=220[/tex], умножаваме първото уравнение по [tex]5[/tex], второто по [tex]4[/tex] и ги изваждаме:
[tex]10x^2-5xy+25y^2-(4x^2-12xy+28y^2)=0\Rightarrow 6x^2+7xy-3y^2=0\Rightarrow (3x-y)(2x+3y)=0[/tex]
Това уравнение заедно с първото уравнение е еквивалентно на системата. Следователно [tex]y=3x[/tex] или [tex]x=-\frac{3y}{2}[/tex].
Ако [tex]y=3x[/tex], първото уравнение дава [tex]2x^2-3x^2+45x^2=44x^2=44[/tex], т.е. [tex]x=\pm 1[/tex]: двойките [tex](1; 3)[/tex] и [tex](-1; -3)[/tex].
Ако [tex]x=-\frac{3y}{2}[/tex], получаваме [tex]\frac{9y^2}{2}+\frac{3y^2}{2}+5y^2=11y^2=44[/tex], т.е. [tex]y=\pm 2[/tex]: двойките [tex](-3; 2)[/tex] и [tex](3; -2)[/tex].
Проверка във второто уравнение: [tex]1-9+63=55[/tex] за [tex](1; 3)[/tex] и [tex]9+18+28=55[/tex] за [tex](-3; 2)[/tex]; противоположните двойки дават същите стойности.
Решенията са [tex](1; 3)[/tex], [tex](-1; -3)[/tex], [tex](3; -2)[/tex], [tex](-3; 2)[/tex].

Решение:
Умножаваме първото уравнение по [tex]2[/tex] и разлагаме на множители:
[tex]2x^2-5xy+2y^2=0\Rightarrow (x-2y)(2x-y)=0[/tex]
Следователно [tex]x=2y[/tex] или [tex]y=2x[/tex].
Ако [tex]x=2y[/tex], второто уравнение става [tex]y=\frac{2y^2}{4}[/tex], т.е. [tex]y(y-2)=0[/tex], откъдето [tex]y=0[/tex] или [tex]y=2[/tex]: двойките [tex](0; 0)[/tex] и [tex](4; 2)[/tex].
Ако [tex]y=2x[/tex], второто уравнение става [tex]-x=\frac{2x^2}{4}[/tex], т.е. [tex]x(x+2)=0[/tex], откъдето [tex]x=0[/tex] или [tex]x=-2[/tex]: двойките [tex](0; 0)[/tex] и [tex](-2; -4)[/tex].
Проверка: за [tex](4; 2)[/tex] имаме [tex]16+4=20=\frac{5}{2}\cdot 8[/tex] и [tex]4-2=2=\frac{8}{4}[/tex]; за [tex](-2; -4)[/tex] имаме [tex]4+16=20=\frac{5}{2}\cdot 8[/tex] и [tex]-2+4=2=\frac{8}{4}[/tex]; двойката [tex](0; 0)[/tex] очевидно е решение.
Решението [tex](0; 0)[/tex] лесно се губи, ако се дели на [tex]xy[/tex] или на [tex]x-y[/tex], които могат да бъдат [tex]0[/tex]. Решенията са [tex](0; 0)[/tex], [tex](4; 2)[/tex], [tex](-2; -4)[/tex].

Решение:
Квадратният корен е неотрицателен, затова [tex]x\ge 0[/tex] и [tex]y\ge 0[/tex]. При тези условия системата е еквивалентна на
[tex]\left\{\begin{array}{l} x^2+5x-6=y^2 \\ y^2+5y-6=x^2 \end{array}\right.[/tex]
Изваждаме второто уравнение от първото:
[tex]x^2-y^2+5(x-y)=y^2-x^2\Rightarrow 2(x-y)(x+y)+5(x-y)=0\Rightarrow (x-y)(2x+2y+5)=0[/tex]
Тъй като [tex]x,y\ge 0[/tex], то [tex]2x+2y+5\gt 0[/tex] и следователно [tex]x=y[/tex]. Тогава [tex]x^2+5x-6=x^2[/tex], откъдето [tex]x=\frac{6}{5}[/tex].
Проверка: [tex]x^2+5x-6=\frac{36}{25}[/tex] и [tex]\sqrt{\frac{36}{25}}=\frac{6}{5}=y[/tex], т.е. [tex]x=y=\frac{6}{5}[/tex] удовлетворяват системата. Следователно
[tex]xy=\frac{36}{25}[/tex]

Решение:
Дефиниционна област: [tex]x\ne 0[/tex], [tex]y\ne 0[/tex], [tex]x-y\gt 0[/tex], [tex]x+y\gt 0[/tex]. Тъй като [tex]4^{t}=2^{2t}[/tex] и [tex]32=2^5[/tex], от първото уравнение получаваме
[tex]2\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)=5[/tex]
Полагаме [tex]t=\frac{x}{y}[/tex]:
[tex]t+\frac{1}{t}=\frac{5}{2}\Rightarrow 2t^2-5t+2=0[/tex]
откъдето [tex]t=2[/tex] или [tex]t=\frac{1}{2}[/tex], т.е. [tex]x=2y[/tex] или [tex]y=2x[/tex]. Второто уравнение е [tex]\log_3(x-y)+\log_3(x+y)=1[/tex], т.е. [tex](x-y)(x+y)=3[/tex], следователно
[tex]x^2-y^2=3[/tex]
Ако [tex]y=2x[/tex], то [tex]x^2-4x^2=-3x^2=3[/tex], което е невъзможно. Ако [tex]x=2y[/tex], то [tex]3y^2=3[/tex], т.е. [tex]y=\pm 1[/tex].
При [tex]y=1[/tex], [tex]x=2[/tex] имаме [tex]x-y=1\gt 0[/tex] и [tex]x+y=3\gt 0[/tex], т.е. двойката е допустима. При [tex]y=-1[/tex], [tex]x=-2[/tex] имаме [tex]x-y=-1\lt 0[/tex], т.е. [tex]\log_3(x-y)[/tex] не е дефиниран и двойката отпада.
Проверка: [tex]4^{2+\frac{1}{2}}=4^{\frac{5}{2}}=32[/tex] и [tex]\log_3 1=0=1-\log_3 3[/tex]. Решението е [tex](2; 1)[/tex].

Решение:
Записваме системата във вида [tex]\sqrt{5y-x}=3-x[/tex], [tex]\sqrt{2y-x}=3-x-y[/tex]. Квадратният корен е неотрицателен, затова трябва [tex]3-x\ge 0[/tex] и [tex]3-x-y\ge 0[/tex]; при тези условия повдигането на квадрат е еквивалентно преобразувание:
[tex]\left\{\begin{array}{l} 5y-x=(3-x)^2 \\ 2y-x=(3-x-y)^2 \end{array}\right.[/tex]
Изваждаме второто уравнение от първото:
[tex]3y=(3-x)^2-(3-x-y)^2=y(6-2x-y)[/tex]
Ако [tex]y=0[/tex], първото уравнение става [tex]-x=(3-x)^2[/tex], т.е. [tex]x^2-5x+9=0[/tex], чиято дискриминанта [tex]25-36[/tex] е отрицателна, така че няма решение.
Ако [tex]y\ne 0[/tex], то [tex]6-2x-y=3[/tex], т.е. [tex]y=3-2x[/tex]. Заместваме в [tex]5y-x=(3-x)^2[/tex]:
[tex]15-11x=9-6x+x^2\Rightarrow x^2+5x-6=0\Rightarrow x_1=1,\ x_2=-6[/tex]
При [tex]x=1[/tex]: [tex]y=1[/tex], [tex]3-x=2\ge 0[/tex], [tex]3-x-y=1\ge 0[/tex] и наистина [tex]\sqrt{4}+1=3[/tex], [tex]\sqrt{1}+1+1=3[/tex].
При [tex]x=-6[/tex]: [tex]y=15[/tex], но [tex]3-x-y=-6\lt 0[/tex]; наистина [tex]\sqrt{2y-x}+x+y=\sqrt{36}+9=15\ne 3[/tex], т.е. тази двойка не е решение – тя се появява при повдигането на квадрат.
Единственото решение е [tex](1; 1)[/tex].

Решение:
Дясната страна на второто уравнение трябва да е неотрицателна: [tex]x+y\ge 0[/tex]. При това условие повдигането на квадрат е еквивалентно преобразувание (тогава [tex]x+y^{2}=(x+y)^{2}\ge 0[/tex] автоматично):
[tex]x+y^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}\Rightarrow x^{2}+2xy-x=0\Rightarrow x(x+2y-1)=0[/tex]
Ако [tex]x=0[/tex], условието става [tex]y\ge 0[/tex], а първото уравнение дава
[tex]2\cdot 2^{y+1}=9\Rightarrow 2^{y+2}=9\Rightarrow y=\log_{2}9-2=\log_{2}\frac{9}{4}[/tex]
Тъй като [tex]\frac{9}{4}\gt 1[/tex], то [tex]y\gt 0[/tex], следователно [tex]\left(0; \log_{2}\frac{9}{4}\right)[/tex] е решение.
Ако [tex]x=1-2y[/tex], условието [tex]x+y=1-y\ge 0[/tex] дава [tex]y\le 1[/tex]. Първото уравнение става [tex]2^{1-2y}\cdot 2^{y+1}+2^{y+1}=9[/tex], т.е. [tex]2^{2-y}+2\cdot 2^{y}=9[/tex]. Полагаме [tex]t=2^{y}\gt 0[/tex]:
[tex]\frac{4}{t}+2t=9\Rightarrow 2t^{2}-9t+4=0\Rightarrow t_{1}=4,\ t_{2}=\frac{1}{2}[/tex]
При [tex]t=4[/tex] получаваме [tex]y=2\gt 1[/tex], което отпада: за двойката [tex](-3; 2)[/tex] имаме [tex]\sqrt{1}=1\ne -1[/tex] (тя се появява при повдигането на квадрат).
При [tex]t=\frac{1}{2}[/tex] получаваме [tex]y=-1[/tex], [tex]x=3[/tex]. Проверка: [tex](8+1)\cdot 2^{0}=9[/tex] и [tex]\sqrt{3+1}=2=3+(-1)[/tex].
Решенията са [tex]\left(0; \log_{2}\frac{9}{4}\right)[/tex] и [tex](3; -1)[/tex].

Решение:
От [tex]a^{2}+b^{2}+c^{2}=1[/tex] следва, че всеки от квадратите е най-много [tex]1[/tex], затова [tex]a\le 1[/tex], [tex]b\le 1[/tex], [tex]c\le 1[/tex]. Изваждаме второто равенство от първото:
[tex]a^{2}(1-a)+b^{2}(1-b)+c^{2}(1-c)=0[/tex]
Всяко събираемо е произведение на квадрат и неотрицателно число, т.е. е неотрицателно. Сбор на неотрицателни числа е равен на [tex]0[/tex] само ако всяко събираемо е [tex]0[/tex], следователно [tex]a^{2}(1-a)=0[/tex], т.е. [tex]a=0[/tex] или [tex]a=1[/tex]; същото важи за [tex]b[/tex] и [tex]c[/tex].
За [tex]t=0[/tex] и [tex]t=1[/tex] е изпълнено [tex]t^{2}=t[/tex], следователно
[tex]a+b+c=a^{2}+b^{2}+c^{2}=1[/tex]
(Всъщност точно едно от числата е равно на [tex]1[/tex], а другите две са равни на [tex]0[/tex].)