Геометрична вероятност - трудни задачи с решения

Решение:
Нека [tex]x[/tex] и [tex]y[/tex] са минутите след [tex]10{:}00[/tex], в които пристигат съответно автобусът и пътникът. Точката [tex]\left(x; y\right)[/tex] е равномерно разпределена в правоъгълника [tex]0\le x\le 5[/tex], [tex]0\le y\le 15[/tex], чието лице е
[tex]S=5\cdot 15=75[/tex]
Автобусът тръгва в момента [tex]x+5[/tex]. Ако пътникът дойде по-рано, той чака, затова хваща автобуса точно когато [tex]y\le x+5[/tex]. При фиксирано [tex]x[/tex] благоприятните стойности на [tex]y[/tex] образуват отсечка с дължина [tex]x+5[/tex], следователно благоприятната област е трапец с основи [tex]5[/tex] и [tex]10[/tex] и височина [tex]5[/tex]:
[tex]S_1=\frac{5+10}{2}\cdot 5=37{,}5,\qquad P=\frac{S_1}{S}=\frac{37{,}5}{75}=\frac{1}{2}[/tex]

Решение:
Измерваме времето в минути след [tex]10{:}00[/tex] и означаваме с [tex]x[/tex] и [tex]y[/tex] моментите на пристигане на двамата. Точката [tex]\left(x; y\right)[/tex] е равномерно разпределена в квадрата [tex]0\le x\le 60[/tex], [tex]0\le y\le 60[/tex] с лице [tex]60^2=3600[/tex]. Двамата се срещат точно когато моментите на пристигането им се различават с най-много [tex]5[/tex] минути:
[tex]|x-y|\le 5[/tex]
Допълнителната област [tex]|x-y|\gt 5[/tex] се състои от два равнобедрени правоъгълни триъгълника с катети [tex]60-5=55[/tex]; общото им лице е
[tex]2\cdot \frac{55^2}{2}=3025\ \Rightarrow\ P=\frac{3600-3025}{3600}=\frac{575}{3600}=\frac{23}{144}[/tex]

Решение:
Нека [tex]x[/tex] и [tex]y[/tex] са моментите (в часове) на пристигане съответно на първия и на втория кораб. Точката [tex]\left(x; y\right)[/tex] е равномерно разпределена в квадрата [tex]0\le x\le 24[/tex], [tex]0\le y\le 24[/tex] с лице [tex]24^2=576[/tex], затова вероятностите са отношения на лица. Някой от корабите чака, ако вторият пристигне, докато първият е още на пристана, или първият пристигне, докато вторият е там:
[tex]x\le y\lt x+2\text{ или }y\le x\lt y+1[/tex]
Никой не чака, когато [tex]y\ge x+2[/tex] или [tex]x\ge y+1[/tex]. Това са два равнобедрени правоъгълни триъгълника в квадрата с катети [tex]24-2=22[/tex] и [tex]24-1=23[/tex]; общото им лице е
[tex]\frac{22^2}{2}+\frac{23^2}{2}=242+264{,}5=506{,}5[/tex]
[tex]P=1-\frac{506{,}5}{576}=\frac{69{,}5}{576}=\frac{139}{1152}[/tex]

Решение:
Правоъгълникът се състои от точките, за които [tex]-2\le x\le 2[/tex] и [tex]-0{,}5\le y\le 1[/tex], следователно лицето му е
[tex]S_{ABCD}=4\cdot 1{,}5=6[/tex]
Търсената вероятност е равна на отношението на лицето на частта от кръга, която е в правоъгълника, към [tex]6[/tex]. Всяка точка от кръга удовлетворява [tex]|x|\le 1[/tex] и [tex]y\le 1[/tex], затова само правата [tex]y=-0{,}5[/tex] отрязва част от кръга: кръгов сегмент, чиято хорда е на разстояние [tex]\frac{1}{2}[/tex] от центъра. Ако централният му ъгъл е [tex]2\theta[/tex], то
[tex]\cos\theta=\frac{1}{2}\Rightarrow\theta=\frac{\pi}{3}\Rightarrow 2\theta=\frac{2\pi}{3}[/tex]
Лицето на сегмента е равно на лицето на сектора минус лицето на триъгълника:
[tex]S_1=\frac{1}{2}\cdot 1^2\cdot \frac{2\pi}{3}-\frac{1}{2}\cdot 1^2\cdot \sin \frac{2\pi}{3}=\frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{4}[/tex]
Следователно частта от кръга, която е в правоъгълника, има лице
[tex]S=\pi-\left(\frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{4}\right)=\frac{2\pi}{3}+\frac{\sqrt{3}}{4}[/tex]
Тогава
[tex]P=\frac{S}{6}=\frac{1}{6}\left(\frac{2\pi}{3}+\frac{\sqrt{3}}{4}\right)=\frac{\pi}{9}+\frac{\sqrt{3}}{24}\approx 0{,}421[/tex]

Решение:
Точката [tex](a; b)[/tex] е случайна точка от правоъгълник с лице [tex]1\cdot 2=2[/tex], затова вероятността е равна на отношението на лицето на благоприятната област към [tex]2[/tex].
Тъй като [tex]a\gt 0[/tex], уравнението е квадратно и има реални корени точно когато дискриминантата му е неотрицателна:
[tex]D=b^2-4a\ge 0\iff a\le\frac{b^2}{4}[/tex]
При [tex]-1\lt b\lt 1[/tex] имаме [tex]\frac{b^2}{4}\lt 1[/tex], следователно благоприятната област е частта от правоъгълника между правата [tex]a=0[/tex] и параболата [tex]a=\frac{b^2}{4}[/tex]. Лицето ѝ е
[tex]S=\int_{-1}^{1}\frac{b^2}{4}\,db=\left.\frac{b^3}{12}\right|_{-1}^{1}=\frac{1}{12}+\frac{1}{12}=\frac{1}{6}[/tex]
Следователно
[tex]P=\frac{S}{2}=\frac{1}{12}[/tex]