Уравнения и неравенства с параметър - много трудни задачи с решения

Решение:
В интервала [tex]\left[0 ; \pi\right][/tex] функцията [tex]\cos x[/tex] е строго намаляваща и приема всяка стойност от [tex]\left[-1 ; 1\right][/tex] точно веднъж, а [tex]3^{c}[/tex] е строго растяща. Следователно при [tex]t=3^{\cos x}[/tex] решенията [tex]x\in\left[0 ; \pi\right][/tex] съответстват взаимно еднозначно на решенията [tex]t\in\left[\frac{1}{3} ; 3\right][/tex] на уравнението
[tex]t+\frac{3}{t}=a\iff t^2-at+3=0[/tex]
При [tex]t\gt 0[/tex] имаме [tex]t+\frac{3}{t}\ge 2\sqrt{3}[/tex], затова при [tex]a\lt 2\sqrt{3}[/tex] решения няма. Нека [tex]a\ge 2\sqrt{3}[/tex]. От формулите на Виет произведението на корените е [tex]3[/tex], т.е. корените са [tex]\tau[/tex] и [tex]\frac{3}{\tau}[/tex], където [tex]\tau\in\left(0 ; \sqrt{3}\right][/tex] е по-малкият от тях и
[tex]a=h(\tau)=\tau+\frac{3}{\tau}[/tex]
Ако [tex]\tau\lt \frac{1}{3}[/tex], то [tex]\frac{3}{\tau}\gt 9[/tex] и нито един корен не е в [tex]\left[\frac{1}{3} ; 3\right][/tex] – няма решения.
Ако [tex]\frac{1}{3}\le \tau\lt 1[/tex], то [tex]\frac{3}{\tau}\in\left(3 ; 9\right][/tex] е извън интервала, затова решението е точно едно.
Ако [tex]1\le \tau\lt \sqrt{3}[/tex], то и [tex]\frac{3}{\tau}\in\left(\sqrt{3} ; 3\right][/tex], затова решенията са две.
Ако [tex]\tau=\sqrt{3}[/tex] (двоен корен, [tex]a=2\sqrt{3}[/tex]), решението е точно едно.
Функцията [tex]h[/tex] е строго намаляваща в [tex]\left(0 ; \sqrt{3}\right][/tex], защото при [tex]0\lt t_1\lt t_2\le \sqrt{3}[/tex]
[tex]h(t_1)-h(t_2)=\left(t_2-t_1\right)\left(\frac{3}{t_1t_2}-1\right)\gt 0[/tex]
Следователно [tex]\tau\in\left[\frac{1}{3} ; 1\right)[/tex] съответства точно на [tex]a\in\left(h(1) ; h\left(\frac{1}{3}\right)\right]=\left(4 ; \frac{28}{3}\right][/tex]. Отговор: [tex]a\in\left\{2\sqrt{3}\right\}\cup\left(4 ; \frac{28}{3}\right][/tex].

Решение:
Тъй като [tex]x^2-2x-3=(x-3)(x+1)[/tex], дефиниционната област е [tex]x\ne 3[/tex], [tex]x\ne -1[/tex], и в нея уравнението добива вида
[tex]\frac{|x-2|}{x+1}=a[/tex]
Случай [tex]1[/tex]: [tex]x\ge 2[/tex], [tex]x\ne 3[/tex]. Тогава [tex]x-2=a(x+1)[/tex], т.е. [tex](1-a)x=a+2[/tex]. При [tex]a=1[/tex] получаваме [tex]0=3[/tex] – няма корен. В противен случай [tex]x=\frac{a+2}{1-a}[/tex] и
[tex]x\ge 2\iff \frac{a+2}{1-a}-2=\frac{3a}{1-a}\ge 0\iff 0\le a\lt 1[/tex]
Освен това [tex]x=3[/tex] точно когато [tex]a+2=3(1-a)[/tex], т.е. [tex]a=\frac{1}{4}[/tex], и тогава този корен отпада. Следователно случай [tex]1[/tex] дава един корен при [tex]a\in\left[0 ; \frac{1}{4}\right)\cup\left(\frac{1}{4} ; 1\right)[/tex] и нито един при останалите стойности на [tex]a[/tex].
Случай [tex]2[/tex]: [tex]x\lt 2[/tex], [tex]x\ne -1[/tex]. Тогава [tex]2-x=a(x+1)[/tex], т.е. [tex](1+a)x=2-a[/tex]. При [tex]a=-1[/tex] получаваме [tex]0=3[/tex] – няма корен. В противен случай [tex]x=\frac{2-a}{1+a}[/tex], което никога не е равно на [tex]-1[/tex] (иначе [tex]2-a=-1-a[/tex]), и
[tex]x\lt 2\iff \frac{2-a}{1+a}-2=\frac{-3a}{1+a}\lt 0\iff a\lt -1\text{ или }a\gt 0[/tex]
Преброяване: при [tex]a\lt -1[/tex] има един корен (случай [tex]2[/tex]); при [tex]-1\le a\lt 0[/tex] няма корени; при [tex]a=0[/tex] има един корен [tex]x=2[/tex] (само от случай [tex]1[/tex]).
При [tex]0\lt a\lt 1[/tex], [tex]a\ne \frac{1}{4}[/tex], корените са два; при [tex]a=\frac{1}{4}[/tex] коренът е един, [tex]x=\frac{7}{5}[/tex], защото кандидатът [tex]x=3[/tex] от случай [tex]1[/tex] е извън дефиниционната област; при [tex]a\ge 1[/tex] има един корен (случай [tex]2[/tex]).
Следователно решението е единствено при [tex]a\in\left(-\infty ; -1\right)\cup\left\{0 ; \frac{1}{4}\right\}\cup\left[1 ; +\infty\right)[/tex].

Решение:
Нека [tex]P(x)=x^2-2mx-4(m^2+1)[/tex] и [tex]Q(x)=x^2-4x-2m(m^2+1)[/tex]. Корените на уравнението са корените на [tex]P[/tex] заедно с корените на [tex]Q[/tex]. За дискриминантите имаме
[tex]\frac{D_P}{4}=m^2+4(m^2+1)=5m^2+4\gt 0,\qquad \frac{D_Q}{4}=4+2m(m^2+1)=2(m+1)(m^2-m+2)[/tex]
Следователно [tex]P[/tex] винаги има два различни реални корена, а тъй като [tex]m^2-m+2\gt 0[/tex], [tex]Q[/tex] има реални корени тогава и само тогава, когато [tex]m\ge -1[/tex]. При [tex]m\lt -1[/tex] уравнението има само двата корена на [tex]P[/tex], затова [tex]m\ge -1[/tex]. Точно три различни корена са възможни по два начина: (а) [tex]Q[/tex] има двоен корен, който не е корен на [tex]P[/tex]; (б) [tex]Q[/tex] има два различни корена и точно един от тях е корен на [tex]P[/tex].
(а) [tex]D_Q=0[/tex] дава [tex]m=-1[/tex]. Тогава [tex]Q(x)=(x-2)^2[/tex] и [tex]P(x)=x^2+2x-8=(x-2)(x+4)[/tex], т.е. корените са само [tex]2[/tex] и [tex]-4[/tex]; отхвърля се.
(б) Нека [tex]m\gt -1[/tex] и [tex]x_0[/tex] е общ корен. Тогава [tex]P(x_0)-Q(x_0)=0[/tex], т.е.
[tex](4-2m)x_0+(2m-4)(m^2+1)=0\iff (m-2)\left(m^2+1-x_0\right)=0[/tex]
Ако [tex]m=2[/tex], то [tex]P(x)=Q(x)=x^2-4x-20[/tex] и уравнението има само два корена; отхвърля се. В противен случай [tex]P\ne Q[/tex], значи имат най-много един общ корен, [tex]x_0=m^2+1[/tex]. Заместваме го в [tex]P[/tex]:
[tex](m^2+1)^2-2m(m^2+1)-4(m^2+1)=(m^2+1)(m^2-2m-3)=(m^2+1)(m-3)(m+1)=0[/tex]
Тъй като [tex]m\gt -1[/tex], получаваме [tex]m=3[/tex]. Проверка:
[tex]P(x)=x^2-6x-40=(x-10)(x+4),\qquad Q(x)=x^2-4x-60=(x-10)(x+6)[/tex]
Корените са [tex]10[/tex], [tex]-4[/tex] и [tex]-6[/tex], т.е. точно три различни корена. Отговорът е [tex]m=3[/tex].

Решение:
Нека [tex]f(x)=(2a-1)x^{2}+2(a+2)x+2[/tex]. Ако [tex]a=\frac{1}{2}[/tex], неравенството е [tex]5x+2\gt 0[/tex], т.е. [tex]x\gt -\frac{2}{5}[/tex], което съдържа безброй много цели числа. Ако [tex]a\gt \frac{1}{2}[/tex], старшият коефициент е положителен и [tex]f(x)\gt 0[/tex] за всички достатъчно големи [tex]x[/tex], отново безброй много цели числа. Следователно [tex]a\lt \frac{1}{2}[/tex] и клоните на параболата са насочени надолу. Дискриминантата е
[tex]\frac{D}{4}=(a+2)^{2}-2(2a-1)=a^{2}+6\gt 0[/tex]
следователно има два корена [tex]x_1\lt x_2[/tex] и множеството от решенията е интервалът [tex]\left(x_1 ; x_2\right)[/tex]. Освен това
[tex]f(-1)=(2a-1)-2(a+2)+2=-3\lt 0,\qquad f(0)=2\gt 0[/tex]
откъдето [tex]-1\lt x_1\lt 0\lt x_2[/tex]. Интервалът не съдържа отрицателни цели числа, а целите числа в него са [tex]0; 1; 2; \ldots[/tex] до [tex]x_2[/tex]. Те са точно три тогава и само тогава, когато [tex]2[/tex] е решение, а [tex]3[/tex] не е, т.е. [tex]f(2)\gt 0[/tex] и [tex]f(3)\le 0[/tex]:
[tex]f(2)=12a+6\gt 0\iff a\gt -\frac{1}{2},\qquad f(3)=24a+5\le 0\iff a\le -\frac{5}{24}[/tex]
И двете условия са съвместими с [tex]a\lt \frac{1}{2}[/tex]. При [tex]a=-\frac{5}{24}[/tex] числото [tex]3[/tex] е корен, следователно не удовлетворява строгото неравенство и този край се включва; при [tex]a=-\frac{1}{2}[/tex] числото [tex]2[/tex] е корен и остават само [tex]0[/tex] и [tex]1[/tex]. Отговорът е [tex]a\in\left(-\frac{1}{2} ; -\frac{5}{24}\right][/tex].

Решение:
За [tex]x=0[/tex] имаме [tex]f(0)=8\gt 0[/tex] при всяко [tex]m[/tex]. За [tex]x=k[/tex] и [tex]x=-k[/tex], където [tex]k\in\mathbb{N}[/tex], условията са
[tex]k^2-2mk+8\ge 0\iff m\le \frac{k}{2}+\frac{4}{k},\qquad k^2+2mk+8\ge 0\iff m\ge -\left(\frac{k}{2}+\frac{4}{k}\right)[/tex]
Следователно трябва [tex]|m|\le h(k)=\frac{k}{2}+\frac{4}{k}[/tex] за всяко [tex]k\in\mathbb{N}[/tex], т.е. [tex]|m|[/tex] не трябва да надминава най-малката стойност на [tex]h(k)[/tex] при естествени [tex]k[/tex]. Имаме [tex]h(3)=\frac{3}{2}+\frac{4}{3}=\frac{17}{6}[/tex] и за всяко естествено [tex]k[/tex]
[tex]h(k)-\frac{17}{6}=\frac{3k^2-17k+24}{6k}=\frac{(3k-8)(k-3)}{6k}\ge 0[/tex]
защото между [tex]\frac{8}{3}[/tex] и [tex]3[/tex] няма цяло число. Следователно най-малката стойност е [tex]\frac{17}{6}[/tex] (при [tex]k=3[/tex]) и условието е [tex]-\frac{17}{6}\le m\le \frac{17}{6}[/tex].
Това множество е по-широко от [tex]\left[-2\sqrt{2} ; 2\sqrt{2}\right][/tex], което се получава от [tex]D\le 0[/tex] (неравенството за всички реални [tex]x[/tex]): например при [tex]m=\frac{17}{6}[/tex] корените на [tex]f[/tex] са [tex]\frac{8}{3}[/tex] и [tex]3[/tex], а [tex]f[/tex] е отрицателна само строго между тях, където няма цяло число. Отговорът е [tex]m\in\left[-\frac{17}{6} ; \frac{17}{6}\right][/tex].

Решение:
Реалното число [tex]u[/tex] е корен на уравнението при някое реално [tex]a[/tex] точно когато уравнението, разгледано като квадратно относно [tex]a[/tex],
[tex]a^2+6(1-u)a+3u^2-u-3=0[/tex]
има реално решение [tex]a[/tex], т.е. когато дискриминантата ѝ е неотрицателна:
[tex]\frac{D}{4}=9(1-u)^2-\left(3u^2-u-3\right)=6u^2-17u+12=(2u-3)(3u-4)\ge 0[/tex]
Следователно възможните реални корени са точно числата [tex]u\in\left(-\infty ; \frac{4}{3}\right]\cup\left[\frac{3}{2} ; +\infty\right)[/tex]. Тъй като [tex]\frac{4}{3}\lt \sqrt{2}\lt \frac{3}{2}[/tex], най-близките до [tex]\sqrt{2}[/tex] възможни стойности са [tex]\frac{4}{3}[/tex] и [tex]\frac{3}{2}[/tex]. Сравняваме разстоянията:
[tex]\sqrt{2}-\frac{4}{3}\lt \frac{3}{2}-\sqrt{2}\iff 2\sqrt{2}\lt \frac{17}{6}\iff 12\sqrt{2}\lt 17\iff 288\lt 289[/tex]
което е вярно. Следователно минимумът на [tex]\left|u-\sqrt{2}\right|[/tex] се достига при [tex]u=\frac{4}{3}[/tex]. За него дискриминантата относно [tex]a[/tex] е нула, затова [tex]a=-3(1-u)=3u-3=1[/tex]. Проверка: при [tex]a=1[/tex] уравнението е [tex]3x^2-7x+4=0[/tex] с корени [tex]1[/tex] и [tex]\frac{4}{3}[/tex]. Отговорът е [tex]a=1[/tex].

Решение:
Лявата страна е определена само при [tex]a\ne 0[/tex] и [tex]\sin x\ne 0[/tex]. Полагаме [tex]u=\left|a\sin x\right|\gt 0[/tex]. Тъй като [tex]a^{2}\sin ^{2}x+9\gt 0[/tex], лявата страна е равна на
[tex]\frac{u^{2}+9}{u}=u+\frac{9}{u}=6+\frac{(u-3)^{2}}{u}\ge 6[/tex]
като равенство има само при [tex]u=3[/tex]. За дясната страна
[tex]-25\cos^{2}x+30\cos x-3=6-(5\cos x-3)^{2}\le 6[/tex]
като равенство има само при [tex]\cos x=\frac{3}{5}[/tex]. Следователно неравенството може да е изпълнено само ако двете страни са равни на [tex]6[/tex], т.е. [tex]\cos x=\frac{3}{5}[/tex] и [tex]\left|a\sin x\right|=3[/tex]. От [tex]\cos x=\frac{3}{5}[/tex] следва [tex]\left|\sin x\right|=\frac{4}{5}[/tex], затова [tex]\frac{4}{5}|a|=3[/tex] и [tex]|a|=\frac{15}{4}[/tex].
Обратно, при [tex]a=\pm\frac{15}{4}[/tex] числото [tex]x=\arccos\frac{3}{5}[/tex] дава [tex]\left|a\sin x\right|=3[/tex] и двете страни са равни на [tex]6[/tex], т.е. неравенството има решение. Отговорът е [tex]a=\pm\frac{15}{4}[/tex].

Решение:
За всяко [tex]x[/tex] имаме [tex]1+\sin ^2(ax)\ge 1[/tex] и [tex]\cos x\le 1[/tex]. Следователно равенство има точно когато [tex]\cos x=1[/tex] и [tex]\sin (ax)=0[/tex]. Първото условие дава [tex]x=2k\pi[/tex], [tex]k\in\mathbb{Z}[/tex], и тогава второто добива вида
[tex]\sin (2k\pi a)=0\iff 2ka\in\mathbb{Z}[/tex]
При [tex]k=0[/tex] това винаги е вярно, т.е. [tex]x=0[/tex] е решение при всяко [tex]a[/tex]. Решението е единствено точно когато [tex]2ka\notin\mathbb{Z}[/tex] за всяко цяло [tex]k\ne 0[/tex].
Ако [tex]a[/tex] е рационално, [tex]a=\frac{p}{q}[/tex], където [tex]p\in\mathbb{Z}[/tex], [tex]q\in\mathbb{N}[/tex], то при [tex]k=q[/tex] получаваме [tex]2qa=2p\in\mathbb{Z}[/tex], т.е. [tex]x=2q\pi\ne 0[/tex] е второ решение. Ако [tex]a[/tex] е ирационално, то [tex]2ka[/tex] е ирационално за всяко цяло [tex]k\ne 0[/tex], следователно [tex]x=0[/tex] е единственото решение.
Следователно уравнението има единствено решение точно когато [tex]a[/tex] е ирационално, т.е. [tex]a\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}[/tex].

Решение:
Нека [tex]f(x)=8x^2+bx+c[/tex]. Тогава [tex]f(0)=c[/tex], [tex]f\left(\frac{1}{2}\right)=2+\frac{b}{2}+c[/tex], [tex]f(1)=8+b+c[/tex] и следователно при всички [tex]b[/tex] и [tex]c[/tex]
[tex]f(0)-2f\left(\frac{1}{2}\right)+f(1)=c-4-b-2c+8+b+c=4[/tex]
Нека [tex]\left|f(x)\right|\le 1[/tex] в [tex]\left[0 ; 1\right][/tex]. Тогава [tex]f(0)\le 1[/tex], [tex]-2f\left(\frac{1}{2}\right)\le 2[/tex] и [tex]f(1)\le 1[/tex], т.е. лявата страна на тъждеството е най-много [tex]4[/tex]. Тъй като тя е равна на [tex]4[/tex], и трите оценки са равенства: [tex]f(0)=1[/tex], [tex]f\left(\frac{1}{2}\right)=-1[/tex], [tex]f(1)=1[/tex]. Оттук [tex]c=1[/tex] и [tex]b=-8[/tex] (и наистина [tex]f\left(\frac{1}{2}\right)=2-4+1=-1[/tex]), т.е. друга двойка не е възможна.
Обратно, при [tex]b=-8[/tex], [tex]c=1[/tex]:
[tex]f(x)=8x^2-8x+1=2(2x-1)^2-1[/tex]
За [tex]x\in\left[0 ; 1\right][/tex] имаме [tex](2x-1)^2\in\left[0 ; 1\right][/tex], следователно [tex]f(x)\in\left[-1 ; 1\right][/tex], т.е. [tex]\left|f(x)\right|\le 1[/tex]. Единствената двойка е [tex]b=-8[/tex], [tex]c=1[/tex].

Решение:
Нека [tex]A=4x^2-(8a-1)x+5a^2[/tex] и [tex]B=x^2-2(a+1)x-a^2[/tex]; дефиниционната област е [tex]A\gt 0[/tex], [tex]B\gt 0[/tex]. Забелязваме, че
[tex]A-B=3x^2-(6a-3)x+6a^2=3\left(x^2+(1-2a)x+2a^2\right)[/tex]
затова уравнението може да се запише като [tex]\frac{A-B}{3}+\lg A=\lg B[/tex], т.е.
[tex]\lg A+\frac{A}{3}=\lg B+\frac{B}{3}[/tex]
Функцията [tex]g(t)=\lg t+\frac{t}{3}[/tex] е строго растяща в [tex]\left(0 ; +\infty\right)[/tex], затова [tex]g(A)=g(B)\iff A=B[/tex]. Следователно уравнението е еквивалентно на [tex]Q(x)=x^2+(1-2a)x+2a^2=0[/tex] заедно с [tex]B\gt 0[/tex] (тогава автоматично [tex]A=B\gt 0[/tex]). За корен на [tex]Q[/tex] имаме [tex]x^2=(2a-1)x-2a^2[/tex], затова
[tex]B=(2a-1)x-2a^2-2(a+1)x-a^2=-3x-3a^2,\qquad B\gt 0\iff x\lt -a^2[/tex]
Следователно трябва [tex]Q[/tex] да има точно един корен, по-малък от [tex]-a^2[/tex]. За дискриминантата [tex]D[/tex] на [tex]Q[/tex], абсцисата [tex]x_v[/tex] на върха на параболата и стойността в [tex]-a^2[/tex] имаме
[tex]D=(1-2a)^2-8a^2=1-4a-4a^2,\qquad x_v=a-\frac{1}{2},\qquad Q\left(-a^2\right)=a^4+2a^3+a^2=a^2(a+1)^2\ge 0[/tex]
Ако [tex]D\lt 0[/tex], решения няма. Ако [tex]D=0[/tex], т.е. [tex]a=\frac{-1\pm\sqrt{2}}{2}[/tex], то [tex]4a^2+4a=1[/tex] и [tex]x_v+a^2=\frac{2a^2+2a-1}{2}=-\frac{1}{4}\lt 0[/tex], т.е. двойният корен удовлетворява [tex]x\lt -a^2[/tex]: точно едно решение.
Ако [tex]D\gt 0[/tex], т.е. [tex]\frac{-1-\sqrt{2}}{2}\lt a\lt \frac{-1+\sqrt{2}}{2}[/tex], то [tex]4a^2+4a\lt 1[/tex], следователно [tex]x_v+a^2=\frac{2a^2+2a-1}{2}\lt 0[/tex] и върхът е вляво от [tex]-a^2[/tex]. Когато [tex]Q\left(-a^2\right)\gt 0[/tex], двата корена са по-малки от [tex]-a^2[/tex]: две решения. Когато [tex]Q\left(-a^2\right)=0[/tex], т.е. [tex]a=0[/tex] или [tex]a=-1[/tex] (и двете са в този интервал), числото [tex]-a^2[/tex] е корен (отхвърля се, защото тогава [tex]B=0[/tex]), а другият корен е по-малък: точно едно решение ([tex]x=-1[/tex] при [tex]a=0[/tex], [tex]x=-2[/tex] при [tex]a=-1[/tex]).
Отговорът е [tex]a\in\left\{\frac{-1-\sqrt{2}}{2} ; -1 ; 0 ; \frac{-1+\sqrt{2}}{2}\right\}[/tex].

Решение:
Всяко решение се определя от своето [tex]x[/tex], защото [tex]y=\left|x^2-kx\right|-k[/tex]. Като заместим това [tex]y[/tex] в първото уравнение, виждаме, че броят на решенията е равен на броя на реалните корени на
[tex]x^2+\left(\left|x^2-kx\right|-k\right)^2=k^2\iff x^2\left(1+(x-k)^2\right)=2k\left|x\right|\left|x-k\right|\qquad (1)[/tex]
Числото [tex]x=0[/tex] винаги е корен (то дава решението [tex](0 ; -k)[/tex]).
Случай [tex]k\le 0[/tex]. Дясната страна на [tex](1)[/tex] е неположителна, а лявата е неотрицателна и се анулира само при [tex]x=0[/tex]. Следователно [tex]x=0[/tex] е единственият корен и системата има точно едно решение.
Случай [tex]0\lt k\lt 6[/tex]. При [tex]x\ne 0[/tex] делим [tex](1)[/tex] на [tex]\left|x\right|[/tex]:
[tex]\left|x\right|\left(1+(x-k)^2\right)=2k\left|x-k\right|\qquad (2)[/tex]
Числото [tex]x=k[/tex] не е корен, защото тогава лявата страна е [tex]k\ne 0[/tex], а дясната е [tex]0[/tex].
(а) При [tex]x\gt k[/tex] полагаме [tex]u=x-k\gt 0[/tex]. Разликата между лявата и дясната страна на [tex](2)[/tex] е
[tex](u+k)\left(1+u^2\right)-2ku=u^3+u+k(u-1)^2\gt 0[/tex]
следователно няма корени с [tex]x\gt k[/tex].
(б) При [tex]0\lt x\lt k[/tex] уравнението [tex](2)[/tex] добива вида [tex]h(x)=x\left(1+(x-k)^2\right)-2k(k-x)=0[/tex]. Тук [tex]h(0)=-2k^2\lt 0[/tex], [tex]h(k)=k\gt 0[/tex] и
[tex]h'(x)=1+2k+(x-k)(3x-k)\ge 1+2k-\frac{k^2}{3}=\frac{12-(k-3)^2}{3}\gt 0[/tex]
защото квадратният тричлен [tex](x-k)(3x-k)=3x^2-4kx+k^2[/tex] има най-малка стойност [tex]-\frac{k^2}{3}[/tex] (при [tex]x=\frac{2k}{3}[/tex]), а от [tex]0\lt k\lt 6[/tex] следва [tex](k-3)^2\lt 9[/tex]. Следователно [tex]h[/tex] е непрекъсната и строго растяща в [tex]\left[0 ; k\right][/tex] и има точно един корен в [tex]\left(0 ; k\right)[/tex].
(в) При [tex]x\lt 0[/tex] уравнението [tex](2)[/tex] добива вида [tex]g(x)=-x\left(1+(x-k)^2\right)-2k(k-x)=0[/tex]. При [tex]x\lt 0[/tex] имаме [tex](x-k)(3x-k)=3x^2-4kx+k^2\gt k^2[/tex], откъдето
[tex]g'(x)=2k-1-(x-k)(3x-k)\lt 2k-1-k^2=-(k-1)^2\le 0[/tex]
следователно [tex]g[/tex] е строго намаляваща в [tex]\left(-\infty ; 0\right][/tex]. Тъй като [tex]g(x)\to +\infty[/tex] при [tex]x\to -\infty[/tex] (старшият член е [tex]-x^3[/tex]) и [tex]g(0)=-2k^2\lt 0[/tex], [tex]g[/tex] има точно един корен в [tex]\left(-\infty ; 0\right)[/tex].
Следователно при [tex]0\lt k\lt 6[/tex] системата има точно [tex]3[/tex] решения. И така, за всяко [tex]k\lt 6[/tex] броят на решенията е [tex]1[/tex] или [tex]3[/tex], т.е. нечетен.