Уравнения и неравенства с параметър - трудни задачи с решения

Решение:
Когато коренът съществува, [tex]1+\sqrt{x^{2}+mx+5}\ge 1\gt 0[/tex], затова единственото условие за дефиниционната област е [tex]x^{2}+mx+5\ge 0[/tex].
Случай [tex]0\lt m\lt 1[/tex]. Функцията [tex]\log_{m}[/tex] е намаляваща, затова неравенството е еквивалентно на
[tex]2\le 1+\sqrt{x^{2}+mx+5}\iff x^{2}+mx+5\ge 1\iff x^{2}+mx+4\ge 0[/tex]
Дискриминантата е [tex]m^{2}-16\lt 0[/tex], затова то е изпълнено за всяко реално [tex]x[/tex] (а тогава е изпълнено и условието за дефиниционната област): безброй много решения, случаят отпада.
Случай [tex]m\gt 1[/tex]. Функцията [tex]\log_{m}[/tex] е растяща, затова неравенството е еквивалентно на
[tex]\sqrt{x^{2}+mx+5}\le 1\iff 0\le x^{2}+mx+5\le 1\iff -1\le x^{2}+mx+4\le 0[/tex]
Ако [tex]1\lt m\lt 4[/tex], дискриминантата [tex]m^{2}-16[/tex] е отрицателна, затова [tex]x^{2}+mx+4\gt 0[/tex] за всяко [tex]x[/tex]: няма решения.
Ако [tex]m=4[/tex], трябва [tex](x+2)^{2}\le 0[/tex], т.е. [tex]x=-2[/tex], и наистина тогава [tex]x^{2}+4x+5=1\ge 0[/tex]: точно едно решение.
Ако [tex]m\gt 4[/tex], тричленът [tex]x^{2}+mx+4[/tex] има два различни корена; в по-малкия корен той е равен на [tex]0[/tex], а непосредствено вдясно от него е отрицателен, затова по непрекъснатост приема стойности в [tex]\left[-1 ; 0\right][/tex] в цял интервал: безброй много решения.
Следователно [tex]m=4[/tex].

Решение:
При [tex]x\ge 0[/tex] имаме [tex]2|x|-2x=0[/tex] и уравнението става [tex]0=a-x[/tex], т.е. [tex]x=a[/tex]. Следователно положителен корен има тогава и само тогава, когато [tex]a\gt 0[/tex], и тогава той е единственият неотрицателен корен. Значи е необходимо [tex]a\gt 0[/tex].
При [tex]x\lt 0[/tex] имаме [tex]2|x|-2x=-4x[/tex] и уравнението е [tex]\sqrt{-4x}=a-x[/tex]. Тъй като [tex]a\gt 0[/tex] и [tex]x\lt 0[/tex], дясната страна е положителна и повдигането на квадрат дава еквивалентно уравнение:
[tex]-4x=(a-x)^2\iff x^2+(4-2a)x+a^2=0[/tex]
То трябва да има два различни отрицателни корена. Условието за дискриминантата е
[tex]\frac{D}{4}=(2-a)^2-a^2=4-4a\gt 0\iff a\lt 1[/tex]
По формулите на Виет [tex]x_1+x_2=2a-4\lt 0[/tex] и [tex]x_1x_2=a^2\gt 0[/tex] при [tex]0\lt a\lt 1[/tex], затова и двата корена са отрицателни. При [tex]a=1[/tex] има само двоен корен [tex]x=-1[/tex], т.е. само един отрицателен корен. Следователно [tex]a\in\left(0 ; 1\right)[/tex].

Решение:
Полагаме [tex]t=2^{x}\gt 0[/tex]. Тъй като [tex]x\mapsto 2^{x}[/tex] изобразява взаимно еднозначно [tex]\mathbb{R}[/tex] върху [tex]\left(0 ; +\infty\right)[/tex], броят на корените [tex]x[/tex] е равен на броя на различните положителни корени на
[tex]f(t)=t^{2}-kt-k+3=0[/tex]
За дискриминантата и по формулите на Виет имаме
[tex]D=k^{2}+4k-12=(k+6)(k-2),\qquad t_{1}+t_{2}=k,\qquad t_{1}t_{2}=3-k[/tex]
Ако [tex]k\gt 3[/tex], то [tex]t_{1}t_{2}\lt 0[/tex], корените са с различни знаци и точно един е положителен: един корен [tex]x[/tex].
Ако [tex]k=3[/tex], уравнението е [tex]t^{2}-3t=0[/tex] с корени [tex]0[/tex] (отпада, защото [tex]t\gt 0[/tex]) и [tex]3[/tex]: един корен [tex]x=\log_{2}3[/tex].
Ако [tex]D=0[/tex], двойният корен е [tex]t=\frac{k}{2}[/tex]: при [tex]k=2[/tex] той е [tex]t=1\gt 0[/tex] и дава точно един корен [tex]x=0[/tex]; при [tex]k=-6[/tex] той е [tex]t=-3\lt 0[/tex] и корени няма.
Ако [tex]2\lt k\lt 3[/tex], то [tex]D\gt 0[/tex], [tex]t_{1}t_{2}\gt 0[/tex] и [tex]t_{1}+t_{2}\gt 0[/tex], затова има два различни положителни корена [tex]t[/tex] и следователно два корена [tex]x[/tex].
Ако [tex]k\lt -6[/tex], то [tex]t_{1}t_{2}\gt 0[/tex] и [tex]t_{1}+t_{2}=k\lt 0[/tex], затова и двата корена [tex]t[/tex] са отрицателни; ако [tex]-6\lt k\lt 2[/tex], то [tex]D\lt 0[/tex] и реални корени няма. И в двата случая няма корени [tex]x[/tex].
Следователно [tex]k\in\left\{2\right\}\cup\left[3 ; +\infty\right)[/tex].

Решение:
Полагаме [tex]t=2^x\gt 0[/tex]. Тогава [tex]2^{-x}=\frac{1}{t}[/tex] и след умножаване с [tex]t[/tex] получаваме
[tex]\left(a^2+a-6\right)t^2-2at+1=0[/tex]
Тъй като [tex]x=\log_2 t[/tex], различни корени [tex]t[/tex] дават различни корени [tex]x[/tex], като [tex]x\gt 0\iff t\gt 1[/tex] и [tex]x\lt 0\iff 0\lt t\lt 1[/tex]. Следователно уравнението относно [tex]t[/tex] трябва да има един корен в [tex]\left(0 ; 1\right)[/tex] и един корен в [tex]\left(1 ; +\infty\right)[/tex].
Ако [tex]a^2+a-6=0[/tex], т.е. [tex]a=2[/tex] или [tex]a=-3[/tex], уравнението е линейно и има най-много един корен, затова тези стойности отпадат.
Нека [tex]c=a^2+a-6\ne 0[/tex] и [tex]f(t)=ct^2-2at+1[/tex]. Числото [tex]1[/tex] лежи строго между два реални корена точно когато [tex]c\,f(1)\lt 0[/tex], а тогава и двата корена са положителни точно когато произведението им [tex]t_1t_2=\frac{1}{c}[/tex] е положително. Следователно условията са
[tex]c\gt 0,\qquad f(1)\lt 0[/tex]
Първо,
[tex]c\gt 0\iff (a+3)(a-2)\gt 0\iff a\lt -3\text{ или }a\gt 2[/tex]
Второ,
[tex]f(1)=a^2+a-6-2a+1=a^2-a-5\lt 0\iff \frac{1-\sqrt{21}}{2}\lt a\lt \frac{1+\sqrt{21}}{2}[/tex]
Тъй като [tex]\frac{1-\sqrt{21}}{2}\gt -3[/tex] и [tex]\frac{1+\sqrt{21}}{2}\gt 2[/tex] (защото [tex]3\lt\sqrt{21}\lt 7[/tex]), сечението е [tex]2\lt a\lt\frac{1+\sqrt{21}}{2}[/tex], т.е. [tex]a\in\left(2 ; \frac{1+\sqrt{21}}{2}\right)[/tex].

Решение:
Полагаме [tex]u=3^{x^2}[/tex]. Тъй като [tex]x^2\ge 0[/tex], то [tex]u\ge 1[/tex]. На стойността [tex]u=1[/tex] съответства единственото решение [tex]x=0[/tex], на всяка стойност [tex]u\gt 1[/tex] съответстват точно две решения [tex]x=\pm\sqrt{\log_3 u}[/tex], а стойностите [tex]u\lt 1[/tex] не дават решения. Уравнението добива вида
[tex]u^2-(2a+1)u+a^2-3=0[/tex]
То има най-много два корена. Всеки корен [tex]u\gt 1[/tex] дава две решения, а коренът [tex]u=1[/tex] дава едно, затова три решения са възможни само ако [tex]u=1[/tex] е корен, а другият корен е по-голям от [tex]1[/tex]. Стойността [tex]u=1[/tex] е корен, когато
[tex]1-(2a+1)+a^2-3=a^2-2a-3=0\iff a=3\text{ или }a=-1[/tex]
При [tex]a=3[/tex]: [tex]u^2-7u+6=0[/tex], откъдето [tex]u=1[/tex] или [tex]u=6\gt 1[/tex], което дава [tex]x=0[/tex] и [tex]x=\pm\sqrt{\log_3 6}[/tex], точно три решения.
При [tex]a=-1[/tex]: [tex]u^2+u-2=0[/tex], откъдето [tex]u=1[/tex] или [tex]u=-2\lt 1[/tex], което дава само [tex]x=0[/tex], едно решение; отпада. Следователно [tex]a=3[/tex].

Решение:
Дефиниционна област: [tex]kx\gt 0[/tex], [tex]x+1\gt 0[/tex] и [tex]\lg(x+1)\ne 0[/tex], т.е. [tex]x\gt -1[/tex], [tex]x\ne 0[/tex], [tex]kx\gt 0[/tex]; в частност [tex]k\ne 0[/tex]. В дефиниционната област уравнението е еквивалентно на
[tex]\lg(kx)=2\lg(x+1)=\lg\left((x+1)^2\right)\iff kx=(x+1)^2\iff x^2+(2-k)x+1=0[/tex]
При [tex]k\ne 0[/tex] числото [tex]x=-1[/tex] не е корен (заместването дава [tex]k=0[/tex]), затова всеки корен автоматично удовлетворява [tex]kx=(x+1)^2\gt 0[/tex]; освен това [tex]x=0[/tex] никога не е корен. Следователно корен на квадратното уравнение е корен на даденото уравнение тогава и само тогава, когато [tex]x\gt -1[/tex].
За дискриминантата и по формулите на Виет имаме
[tex]D=(2-k)^2-4=k(k-4),\qquad x_1x_2=1,\qquad x_1+x_2=k-2[/tex]
Ако [tex]0\lt k\lt 4[/tex], то [tex]D\lt 0[/tex]: няма корени. Ако [tex]k=4[/tex], двойният корен е [tex]x=1\gt -1[/tex]: точно един корен.
Ако [tex]k\gt 4[/tex], двата различни корена имат произведение [tex]1[/tex] и сбор [tex]k-2\gt 0[/tex], затова и двата са положителни и и двата са допустими: два корена.
Ако [tex]k\lt 0[/tex], то [tex]D\gt 0[/tex] и двата различни корена имат произведение [tex]1[/tex] и сбор [tex]k-2\lt 0[/tex], затова и двата са отрицателни; тъй като произведението им е [tex]1[/tex], единият е в [tex]\left(-1 ; 0\right)[/tex], а другият е по-малък от [tex]-1[/tex]. Допустим е само първият: точно един корен.
Следователно [tex]k\in\left(-\infty ; 0\right)\cup\left\{4\right\}[/tex].

Решение:
Дефиниционната област е [tex]x\ne a[/tex], [tex]x\ne b[/tex], [tex]x\ne c[/tex]. В нея след умножаване с [tex](x-a)(x-b)(x-c)\ne 0[/tex] получаваме еквивалентното уравнение [tex]g(x)=0[/tex], където
[tex]g(x)=(x-b)(x-c)+(x-a)(x-c)+(x-a)(x-b)=3x^2-2(a+b+c)x+ab+bc+ca[/tex]
За квадратния тричлен [tex]g[/tex] имаме
[tex]\frac{D}{4}=(a+b+c)^2-3(ab+bc+ca)=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=\frac{1}{2}\left[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\right][/tex]
Тъй като [tex]a[/tex], [tex]b[/tex], [tex]c[/tex] са различни, всеки от квадратите е положителен, затова [tex]\frac{D}{4}\gt 0[/tex] и [tex]g[/tex] има два различни реални корена. Никой от тях не е изключен от дефиниционната област, защото
[tex]g(a)=(a-b)(a-c)\ne 0,\qquad g(b)=(b-a)(b-c)\ne 0,\qquad g(c)=(c-a)(c-b)\ne 0[/tex]
Следователно и двата корена на [tex]g[/tex] са корени на даденото уравнение, а тъй като в дефиниционната област то е еквивалентно на [tex]g(x)=0[/tex], уравнението има точно два различни реални корена.

Решение:
Нека [tex]x_{0}[/tex] е реален корен на уравнението при някоя реална стойност на [tex]m[/tex]. Подреждаме равенството по степените на [tex]m[/tex]:
[tex]x_{0}^{2}-2mx_{0}+2m^{2}-2m-3=0\iff 2m^{2}-2(x_{0}+1)m+x_{0}^{2}-3=0[/tex]
Това е квадратно уравнение относно [tex]m[/tex] с реални коефициенти, което има реалния корен [tex]m[/tex]. Следователно дискриминантата му е неотрицателна:
[tex]\frac{D}{4}=(x_{0}+1)^{2}-2(x_{0}^{2}-3)=-x_{0}^{2}+2x_{0}+7\ge 0\iff x_{0}^{2}-2x_{0}-7\le 0[/tex]
Корените на уравнението [tex]x^{2}-2x-7=0[/tex] са [tex]1\pm 2\sqrt{2}[/tex], следователно
[tex]1-2\sqrt{2}\le x_{0}\le 1+2\sqrt{2}[/tex]
Това трябваше да се докаже. Границите се достигат: при [tex]m=1+\sqrt{2}[/tex] корените са [tex]1[/tex] и [tex]1+2\sqrt{2}[/tex], а при [tex]m=1-\sqrt{2}[/tex] – [tex]1[/tex] и [tex]1-2\sqrt{2}[/tex].

Решение:
Записваме уравнението във вида [tex]a=f(x)[/tex], където [tex]f(x)=x-\left|2|x|-1\right|[/tex]. Броят на решенията е равен на броя на общите точки на графиката на [tex]f[/tex] и хоризонталната права [tex]y=a[/tex]. Като разкрием модулите, получаваме
[tex]f(x)=\left\{\begin{array}{ll} 3x+1, & x\le -\frac{1}{2} \\ -x-1, & -\frac{1}{2}\le x\le 0 \\ 3x-1, & 0\le x\le \frac{1}{2} \\ 1-x, & x\ge \frac{1}{2} \end{array}\right.[/tex]
Следователно [tex]f[/tex] расте от [tex]-\infty[/tex] до [tex]f\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{2}[/tex], намалява до [tex]f(0)=-1[/tex], расте до [tex]f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}[/tex] и след това намалява до [tex]-\infty[/tex]. Преброяваме общите точки с правата [tex]y=a[/tex].
При [tex]a\gt \frac{1}{2}[/tex] решения няма, при [tex]a=\frac{1}{2}[/tex] има едно, а при [tex]-\frac{1}{2}\lt a\lt \frac{1}{2}[/tex] – две.
При [tex]a=-\frac{1}{2}[/tex] решенията са три: [tex]x=-\frac{1}{2}[/tex], [tex]x=\frac{1}{6}[/tex], [tex]x=\frac{3}{2}[/tex].
При [tex]-1\lt a\lt -\frac{1}{2}[/tex] решенията са четири (по едно във всеки интервал на монотонност).
При [tex]a=-1[/tex] решенията са три: [tex]x=-\frac{2}{3}[/tex], [tex]x=0[/tex], [tex]x=2[/tex], а при [tex]a\lt -1[/tex] – две.
Следователно уравнението има точно три решения при [tex]a=-1[/tex] и при [tex]a=-\frac{1}{2}[/tex].

Решение:
Фиксираме [tex]a[/tex]. Изразът [tex]A\cos x+B\sin x[/tex] приема точно стойностите от интервала [tex]\left[-\sqrt{A^2+B^2} ; \sqrt{A^2+B^2}\right][/tex]. Тук [tex]A=a^2-9[/tex], [tex]B=6a[/tex] и
[tex]A^2+B^2=(a^2-9)^2+36a^2=a^4+18a^2+81=(a^2+9)^2[/tex]
Следователно най-малката стойност на лявата страна е [tex]-(a^2+9)[/tex]. Неравенството има решение [tex]x[/tex] тогава и само тогава, когато тази най-малка стойност не надминава дясната страна:
[tex]-(a^2+9)\le ab\iff a^2+ab+9\ge 0[/tex]
Това трябва да е изпълнено за всяко реално [tex]a[/tex]. Квадратен тричлен относно [tex]a[/tex] с положителен старши коефициент е неотрицателен за всяко [tex]a[/tex] тогава и само тогава, когато дискриминантата му е неположителна:
[tex]D=b^2-36\le 0\iff -6\le b\le 6[/tex]
При [tex]b=\pm 6[/tex] получаваме [tex](a\pm 3)^2\ge 0[/tex], което е вярно, т.е. краищата се включват. Отговор: [tex]b\in\left[-6 ; 6\right][/tex].

Решение:
При [tex]x\in\left(0 ; \frac{\pi}{2}\right)[/tex] числата [tex]\sin x[/tex] и [tex]\cos x[/tex] са положителни и уравнението добива вида [tex]\frac{\sin x+\cos x}{\sin x\cos x}=\lambda[/tex]. Полагаме
[tex]t=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)[/tex]
Тъй като [tex]x+\frac{\pi}{4}\in\left(\frac{\pi}{4} ; \frac{3\pi}{4}\right)[/tex], променливата [tex]t[/tex] приема точно стойностите от [tex]\left(1 ; \sqrt{2}\right][/tex], а [tex]\sin x\cos x=\frac{t^2-1}{2}[/tex]. Уравнението добива вида
[tex]\lambda=\frac{2t}{t^2-1}=\frac{2}{t-\frac{1}{t}}[/tex]
В интервала [tex]\left(1 ; \sqrt{2}\right][/tex] знаменателят [tex]t-\frac{1}{t}[/tex] е положителен и строго растящ – от стойности, произволно близки до [tex]0[/tex], до [tex]\sqrt{2}-\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex]. Следователно дясната страна е непрекъсната и строго намаляваща, расте неограничено при [tex]t\to 1^{+}[/tex], а при [tex]t=\sqrt{2}[/tex] (т.е. при [tex]x=\frac{\pi}{4}[/tex]) е равна на
[tex]\frac{2}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=2\sqrt{2}[/tex]
Множеството ѝ от стойности е [tex]\left[2\sqrt{2} ; +\infty\right)[/tex], следователно уравнението има корен в [tex]\left(0 ; \frac{\pi}{2}\right)[/tex] точно когато [tex]\lambda\ge 2\sqrt{2}[/tex].

Решение:
Полагаме [tex]t=x^2-2x+2=(x-1)^2+1[/tex], откъдето [tex]t\ge 1[/tex]. При [tex]t=1[/tex] получаваме само [tex]x=1[/tex], а при [tex]t\gt 1[/tex] – две различни стойности
[tex]x=1\pm\sqrt{t-1}[/tex]
И двете са положителни тогава и само тогава, когато [tex]1-\sqrt{t-1}\gt 0[/tex], т.е. [tex]t\lt 2[/tex] (при [tex]t=2[/tex] едната от тях е [tex]0[/tex], а при [tex]t\gt 2[/tex] едната е отрицателна). На различни стойности на [tex]t[/tex] съответстват различни стойности на [tex]x[/tex]. Уравнението добива вида
[tex]g(t)=t^2-mt+3=0[/tex]
То има най-много два корена и всеки от тях дава най-много две положителни стойности на [tex]x[/tex]. Следователно даденото уравнение има четири различни положителни корена тогава и само тогава, когато [tex]g[/tex] има два различни корена, и двата в отворения интервал [tex]\left(1 ; 2\right)[/tex]. Условията са
[tex]D=m^2-12\gt 0,\quad g(1)=4-m\gt 0,\quad g(2)=7-2m\gt 0,\quad 1\lt \frac{m}{2}\lt 2[/tex]
От последното условие [tex]m\gt 0[/tex], затова [tex]D\gt 0[/tex] дава [tex]m\gt 2\sqrt{3}[/tex]; останалите условия дават [tex]m\lt 4[/tex] и [tex]m\lt \frac{7}{2}[/tex]. Тъй като [tex]2\sqrt{3}=\sqrt{12}\lt \sqrt{\frac{49}{4}}=\frac{7}{2}[/tex], получаваме
[tex]2\sqrt{3}\lt m\lt \frac{7}{2}[/tex]

Решение:
Дефиниционна област: [tex]x\ge 3[/tex]. Полагаме [tex]s=\sqrt{x-3}\ge 0[/tex]; тогава [tex]x=s^2+3[/tex] и на различни [tex]s\ge 0[/tex] съответстват различни [tex]x\ge 3[/tex]. Уравнението добива вида
[tex]s+a\left(s^2+3\right)=2a+3\iff as^2+s+a-3=0\quad (\ast)[/tex]
Трябва уравнението [tex](\ast)[/tex] да има точно един неотрицателен корен [tex]s[/tex]. Ако [tex]a=0[/tex], то [tex]s=3[/tex], т.е. [tex]x=12[/tex] – едно решение.
Нека [tex]a\ne 0[/tex]. Тогава
[tex]s_1s_2=\frac{a-3}{a},\quad s_1+s_2=-\frac{1}{a},\quad D=1-4a(a-3)=-4a^2+12a+1[/tex]
Ако [tex]0\lt a\lt 3[/tex], то [tex]s_1s_2\lt 0[/tex], следователно корените са реални и с различни знаци и точно един от тях е положителен – едно решение.
Ако [tex]a=3[/tex], то [tex]3s^2+s=0[/tex], откъдето [tex]s=0[/tex] или [tex]s=-\frac{1}{3}[/tex], и само [tex]s=0[/tex] ([tex]x=3[/tex]) е допустим – едно решение.
Ако [tex]a\gt 3[/tex], то [tex]s_1s_2\gt 0[/tex] и [tex]s_1+s_2\lt 0[/tex], следователно реалните корени (ако има такива) са отрицателни – няма решения.
Ако [tex]a\lt 0[/tex], то [tex]s_1s_2\gt 0[/tex] и [tex]s_1+s_2\gt 0[/tex], следователно реалните корени (ако има такива) са положителни: при [tex]D\gt 0[/tex] решенията са две, при [tex]D\lt 0[/tex] няма решения, а при [tex]D=0[/tex] решението е едно. Имаме
[tex]D=0\iff 4a^2-12a-1=0\iff a=\frac{3\pm\sqrt{10}}{2}[/tex]
Условието [tex]a\lt 0[/tex] оставя само [tex]a=\frac{3-\sqrt{10}}{2}[/tex] (двоен корен [tex]s=-\frac{1}{2a}=3+\sqrt{10}[/tex], т.е. [tex]x=22+6\sqrt{10}[/tex]). Отговор: [tex]a\in\left\{\frac{3-\sqrt{10}}{2}\right\}\cup\left[0 ; 3\right][/tex].

Решение:
Дефиниционна област: основата [tex]\sqrt{2-x}[/tex] трябва да е положителна и различна от [tex]1[/tex], т.е. [tex]x\lt 2[/tex] и [tex]x\ne 1[/tex]; аргументът трябва да е положителен, т.е. [tex]x^2+4a\ne 0[/tex]. В дефиниционната област уравнението е еквивалентно на
[tex]\left|x^2+4a\right|=\left(\sqrt{2-x}\right)^4=(2-x)^2[/tex]
Тъй като [tex](2-x)^2\gt 0[/tex] при [tex]x\lt 2[/tex], всеки корен на това уравнение удовлетворява автоматично [tex]x^2+4a\ne 0[/tex]. Затова броим корените с [tex]x\lt 2[/tex], [tex]x\ne 1[/tex] на двете уравнения [tex]x^2+4a=(2-x)^2[/tex] и [tex]x^2+4a=-(2-x)^2[/tex].
Първото дава [tex]x^2+4a=x^2-4x+4\iff x=1-a[/tex]; този корен е допустим тогава и само тогава, когато [tex]1-a\lt 2[/tex] и [tex]1-a\ne 1[/tex], т.е. [tex]a\gt -1[/tex], [tex]a\ne 0[/tex].
Второто дава
[tex]x^2+4a=-x^2+4x-4\iff (x-1)^2=-1-2a[/tex]
При [tex]a\gt -\frac{1}{2}[/tex] то няма корени, а при [tex]a=-\frac{1}{2}[/tex] единственият му корен е [tex]x=1[/tex], който не е допустим. При [tex]a\lt -\frac{1}{2}[/tex] полагаме [tex]s=\sqrt{-1-2a}\gt 0[/tex]; корените са [tex]1-s[/tex] (винаги допустим) и [tex]1+s[/tex], който е допустим тогава и само тогава, когато [tex]s\lt 1\iff -1-2a\lt 1\iff a\gt -1[/tex].
Преброяване: ако [tex]a\le -1[/tex], остава само [tex]x=1-s[/tex], т.е. един корен. Ако [tex]a\ge -\frac{1}{2}[/tex], второто уравнение не дава допустими корени, а първото дава най-много един.
Ако [tex]-1\lt a\lt -\frac{1}{2}[/tex], получаваме [tex]1-s[/tex] и [tex]1+s[/tex], където [tex]0\lt s\lt 1[/tex], както и [tex]x=1-a\in\left(\frac{3}{2} ; 2\right)[/tex]. При това [tex]1-a\gt 1\gt 1-s[/tex], а [tex]1-a=1+s[/tex] би означавало [tex]a^2=-1-2a[/tex], т.е. [tex](a+1)^2=0[/tex], [tex]a=-1[/tex], което е изключено. Следователно корените са точно три.
Отговор: [tex]a\in\left(-1 ; -\frac{1}{2}\right)[/tex].