Комплексен анализ - много трудни задачи с решения

Решение:
Подинтегралната функция е аналитична навсякъде освен в нулите на [tex]z^{3}\cos z[/tex], т.е. в [tex]z=0[/tex] и [tex]z=\frac{\pi}{2}+k\pi[/tex], [tex]k\in\mathbb{Z}[/tex]. Вътре в окръжността лежат само [tex]0[/tex] и [tex]\pm\frac{\pi}{2}\approx\pm 1{,}57[/tex], защото [tex]\frac{3\pi}{2}\approx 4{,}71\gt 4[/tex]; никоя от тези точки не лежи върху окръжността.
В [tex]z=0[/tex] числителят [tex]e^{z}-1[/tex] има проста нула и [tex]\cos 0=1[/tex], затова [tex]z=0[/tex] е полюс от втори ред. Умножаваме развитията
[tex]\frac{e^{z}-1}{z^{3}}=\frac{1}{z^{2}}+\frac{1}{2z}+\frac{1}{6}+\ldots,\qquad \frac{1}{\cos z}=1+\frac{z^{2}}{2}+\ldots[/tex]
Тъй като [tex]\frac{1}{\cos z}[/tex] е четна, в развитието ѝ няма член с [tex]z^{1}[/tex], така че коефициентът пред [tex]\frac{1}{z}[/tex] в произведението идва само от [tex]\frac{1}{2z}[/tex], умножено по [tex]1[/tex]:
[tex]\operatorname{Res}_{z=0}=\frac{1}{2}[/tex]
В [tex]z=\pm\frac{\pi}{2}[/tex] косинусът има прости нули ([tex](\cos z)'=-\sin z\ne 0[/tex]), а числителят е различен от нула, така че това са прости полюси и
[tex]\operatorname{Res}_{z=\pm\frac{\pi}{2}}=\left.\frac{e^{z}-1}{z^{3}(-\sin z)}\right|_{z=\pm\frac{\pi}{2}}[/tex]
[tex]\operatorname{Res}_{z=\frac{\pi}{2}}=\frac{e^{\frac{\pi}{2}}-1}{-\frac{\pi^{3}}{8}}=-\frac{8\left(e^{\frac{\pi}{2}}-1\right)}{\pi^{3}}[/tex]
[tex]\operatorname{Res}_{z=-\frac{\pi}{2}}=\frac{e^{-\frac{\pi}{2}}-1}{-\frac{\pi^{3}}{8}}=-\frac{8\left(e^{-\frac{\pi}{2}}-1\right)}{\pi^{3}}[/tex]
По теоремата за резидуумите
[tex]\oint_{|z|=4}\frac{e^{z}-1}{z^{3}\cos z}\,dz=2\pi i\left[\frac{1}{2}-\frac{8}{\pi^{3}}\left(e^{\frac{\pi}{2}}+e^{-\frac{\pi}{2}}-2\right)\right]=\pi i-\frac{16i}{\pi^{2}}\left(e^{\frac{\pi}{2}}+e^{-\frac{\pi}{2}}-2\right)\approx -1{,}752\,i[/tex]

Решение:
Подинтегралната функция [tex]\frac{\sin x}{x(x^{2}+1)}[/tex] е непрекъсната в [tex]\mathbb{R}[/tex] (границата ѝ в [tex]0[/tex] е [tex]1[/tex]) и е [tex]O\left(\frac{1}{|x|^{3}}\right)[/tex] при [tex]|x|\to\infty[/tex], така че интегралът е сходящ. Разглеждаме
[tex]f(z)=\frac{e^{iz}}{z(z^{2}+1)}[/tex]
с прости полюси [tex]0[/tex] и [tex]\pm i[/tex]. Интегрираме я по затворения контур, съставен от отсечката [tex][-R; -\varepsilon][/tex], малката горна полуокръжност [tex]\gamma_{\varepsilon}[/tex] с радиус [tex]\varepsilon[/tex] и център [tex]0[/tex], обходена по часовниковата стрелка, отсечката [tex][\varepsilon; R][/tex] и голямата горна полуокръжност [tex]\Gamma_R[/tex] ([tex]0\lt\varepsilon\lt 1\lt R[/tex]). Вътре в контура лежи само полюсът [tex]z=i[/tex], като
[tex]\operatorname{Res}_{z=i}f=\frac{e^{-1}}{i(2i)}=-\frac{1}{2e},\qquad \oint f\,dz=2\pi i\left(-\frac{1}{2e}\right)=-\frac{\pi i}{e}[/tex]
Върху [tex]\Gamma_R[/tex] имаме [tex]|e^{iz}|=e^{-\operatorname{Im}z}\le 1[/tex] и [tex]|z^{3}+z|\ge R^{3}-R[/tex], затова
[tex]\left|\int_{\Gamma_R}f\,dz\right|\le\frac{\pi R}{R^{3}-R}\to 0\quad (R\to\infty)[/tex]
За прост полюс интегралът по малка полуокръжност около него, обходена по часовниковата стрелка, клони към [tex]-\pi i[/tex], умножено по резидуума; тук [tex]\operatorname{Res}_{z=0}f=1[/tex], затова
[tex]\int_{\gamma_{\varepsilon}}f\,dz\to-\pi i\quad (\varepsilon\to 0)[/tex]
При [tex]\varepsilon\to 0[/tex] и [tex]R\to\infty[/tex] интегралите по двете отсечки дават главната стойност [tex]J[/tex]:
[tex]J=\lim_{\varepsilon\to 0}\left(\int_{-\infty}^{-\varepsilon}+\int_{\varepsilon}^{\infty}\right)\frac{e^{ix}}{x^{3}+x}\,dx,\qquad J-\pi i=-\frac{\pi i}{e}\ \Rightarrow\ J=\pi i\left(1-\frac{1}{e}\right)[/tex]
Тъй като [tex]e^{ix}=\cos x+i\sin x[/tex] и функцията [tex]\frac{\cos x}{x^{3}+x}[/tex] е нечетна, реалната част на [tex]J[/tex] е [tex]0[/tex], а имагинерната ѝ част е търсеният интеграл (чиято подинтегрална функция е непрекъсната в [tex]0[/tex]). Следователно
[tex]\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\sin x}{x^{3}+x}\,dx=\operatorname{Im}J=\pi\left(1-\frac{1}{e}\right)\approx 1{,}986[/tex]

Решение:
Нека [tex]\rho=\limsup_{k\to\infty}\sqrt[k]{|a_{-k}|}[/tex]. При [tex]\zeta=\frac{1}{z-a}[/tex] главната част
[tex]P(z)=\sum_{k=1}^{\infty}a_{-k}(z-a)^{-k}=\sum_{k=1}^{\infty}a_{-k}\zeta^{k}[/tex]
се превръща в степенен ред по [tex]\zeta[/tex] с радиус на сходимост [tex]\frac{1}{\rho}[/tex] (формула на Коши-Адамар, като [tex]\frac{1}{0}=\infty[/tex]). Следователно [tex]P[/tex] е абсолютно и равномерно сходящ върху компактните подмножества на [tex]|z-a|\gt\rho[/tex] и е разходящ при [tex]0\lt|z-a|\lt\rho[/tex]. Понеже всички [tex]\sqrt[k]{|a_{-k}|}\ge 0[/tex], условието [tex]\lim_{k\to\infty}\sqrt[k]{|a_{-k}|}=0[/tex] е еквивалентно на [tex]\rho=0[/tex]. Правилната част [tex]Q(z)=\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}(z-a)^{k}[/tex] е сходяща във всяка точка на [tex]G[/tex], затова радиусът ѝ на сходимост е поне [tex]R[/tex] и [tex]Q[/tex] е аналитична в [tex]|z-a|\lt R[/tex].
Достатъчност. Ако [tex]\rho=0[/tex], то [tex]P[/tex] е сходящ за всяко [tex]z\ne a[/tex], равномерно върху компактните подмножества на [tex]|z-a|\gt 0[/tex], и по теоремата на Вайерщрас сумата му е аналитична там. Тогава [tex]g=P+Q[/tex] е аналитична в [tex]0\lt|z-a|\lt R[/tex] и съвпада с [tex]f[/tex] в [tex]G[/tex].
Необходимост. Нека такава функция [tex]g[/tex] съществува. Тъй като е аналитична в пръстена [tex]0\lt|z-a|\lt R[/tex], тя има развитие в ред на Лоран, сходящо в него:
[tex]g(z)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}b_{k}(z-a)^{k},\qquad b_{k}=\frac{1}{2\pi i}\oint_{|z-a|=s}\frac{g(z)}{(z-a)^{k+1}}\,dz,\quad 0\lt s\lt R[/tex]
Като изберем [tex]r\lt s\lt R[/tex], където [tex]g=f[/tex], получаваме [tex]b_{k}=a_{k}[/tex] за всяко [tex]k[/tex] (единственост на развитието на [tex]f[/tex] в ред на Лоран в [tex]G[/tex]). Следователно редът [tex]\sum_{k=1}^{\infty}a_{-k}(z-a)^{-k}[/tex] е сходящ за всяко [tex]0\lt|z-a|\lt R[/tex], т.е. степенният ред [tex]\sum_{k=1}^{\infty}a_{-k}\zeta^{k}[/tex] е сходящ за всяко [tex]|\zeta|\gt\frac{1}{R}[/tex], а значи и за произволно големи [tex]|\zeta|[/tex]. Тогава радиусът му на сходимост е безкраен, т.е. [tex]\rho=0[/tex], което е търсеното условие.