Линейни пространства и линейни оператори - много трудни задачи с решения

Решение:
Всеки хомогенен полином от степен [tex]k[/tex] е линейна комбинация на едночлените
[tex]x_1^{a_1}x_2^{a_2}\ldots x_n^{a_n},\qquad a_i\in\mathbb{Z},\ a_i\ge 0,\qquad a_1+a_2+\ldots+a_n=k[/tex]
Различните едночлени са линейно независими (един полином е нулев само ако всичките му коефициенти са нули), затова тези едночлени образуват базис. Следователно размерността е равна на броя на решенията на [tex]a_1+\ldots+a_n=k[/tex] в цели неотрицателни числа.
Броим ги чрез „звезди и черти“: на всяко решение съответства редица от [tex]k[/tex] звезди и [tex]n-1[/tex] черти, като чертите разделят звездите на [tex]n[/tex] групи с размери [tex]a_1,\ldots,a_n[/tex]. Такава редица има [tex]n+k-1[/tex] места и се определя от избора на местата на [tex]k[/tex]-те звезди, следователно размерността е
[tex]\binom{n+k-1}{k}=\frac{(n+k-1)!}{k!\,(n-1)!}[/tex]
Проверка: при [tex]n=2,\ k=2[/tex] базисът е [tex]x_1^2,\ x_1x_2,\ x_2^2[/tex] и [tex]\binom{3}{2}=3[/tex]. Да отбележим, че [tex]\binom{n+k}{k}[/tex] е размерността на пространството на всички полиноми от степен не по-висока от [tex]k[/tex], а не на хомогенните.

Решение:
Условията са хомогенни линейни уравнения за [tex]n^2[/tex]-те стойности на [tex]f[/tex], така че решенията образуват подпространство [tex]L[/tex]. Наричаме вътрешни [tex](n-2)^2[/tex]-те точки [tex](k,l)[/tex] с [tex]k,l\in\{2; \ldots; n-1\}[/tex], а останалите точки — гранични. Броят на граничните точки е
[tex]n^2-(n-2)^2=4n-4[/tex]
Нека изображението [tex]R:L\to\mathbb{R}^{4n-4}[/tex] съпоставя на [tex]f[/tex] стойностите ѝ в граничните точки; [tex]R[/tex] е линейно. Ще покажем, че [tex]R[/tex] е изоморфизъм.
Изображението [tex]R[/tex] е инективно. Нека [tex]f\in L[/tex] е нула в граничните точки и [tex]M[/tex] е най-голямата стойност на [tex]f[/tex]. Да допуснем, че [tex]M\gt 0[/tex]; тогава тя се достига във вътрешна точка [tex](k,l)[/tex]. Там [tex]f(k,l)[/tex] е средно аритметично на четири стойности, всяка от които е [tex]\le M[/tex], затова и четирите са равни на [tex]M[/tex]; в частност [tex]f(k+1,l)=M[/tex]. Повтаряйки разсъждението, се придвижваме надясно със стойност [tex]M[/tex], докато стигнем до граничната точка [tex](n,l)[/tex], където [tex]f=0\lt M[/tex] — противоречие. Значи [tex]M\le 0[/tex], т.е. [tex]f\le 0[/tex]; приложено към [tex]-f[/tex], това дава [tex]f\ge 0[/tex], следователно [tex]f\equiv 0[/tex].
Изображението [tex]R[/tex] е сюрективно. При зададени стойности в граничните точки ги прехвърляме в десните страни: условията стават квадратна линейна система от [tex](n-2)^2[/tex] уравнения за [tex](n-2)^2[/tex]-те вътрешни стойности. При нулеви гранични стойности тя има само нулевото решение (от инективността), затова детерминантата ѝ е различна от нула и системата е решима при всякакви десни страни.
Следователно [tex]R[/tex] е изоморфизъм и
[tex]\dim L=4n-4[/tex]
Да отбележим, че четирите ъглови точки [tex](1; 1)[/tex], [tex](1; n)[/tex], [tex](n; 1)[/tex], [tex](n; n)[/tex] не участват в нито едно условие, но също трябва да се преброят (ако ги забравим, получаваме [tex]4n-8[/tex]).

Решение:
В комплексното линейно пространство [tex]M_n(\mathbb{C})[/tex] на квадратните матрици от ред [tex]n[/tex] дефинираме следната функция, където [tex]Y^*=\overline{Y}^{T}[/tex] е ермитово спрегнатата на [tex]Y[/tex] матрица:
[tex]\langle X,Y\rangle=\operatorname{tr}(XY^*)=\sum_{i,j=1}^{n}x_{ij}\overline{y_{ij}}[/tex]
Това е стандартното скаларно произведение в [tex]\mathbb{C}^{n^2}[/tex], приложено към елементите на матриците, следователно е скаларно произведение: линейно е по [tex]X[/tex], [tex]\langle Y,X\rangle=\overline{\langle X,Y\rangle}[/tex] и [tex]\langle X,X\rangle=\sum_{i,j}|x_{ij}|^2\gt 0[/tex] при [tex]X\ne 0[/tex]. От неравенството на Коши-Буняковски, което е в сила във всяко пространство със скаларно произведение,
[tex]|\langle A,B\rangle|^2\le\langle A,A\rangle\cdot \langle B,B\rangle[/tex]
Тъй като [tex]A[/tex] и [tex]B[/tex] са ермитови, [tex]A^*=A[/tex] и [tex]B^*=B[/tex], откъдето
[tex]\langle A,B\rangle=\operatorname{tr}(AB^*)=\operatorname{tr}(AB),\qquad \langle A,A\rangle=\operatorname{tr}(A^2),\qquad \langle B,B\rangle=\operatorname{tr}(B^2)[/tex]
Като заместим в неравенството на Коши-Буняковски, получаваме търсеното неравенство:
[tex]\left|\operatorname{tr}(AB)\right|^2\le\operatorname{tr}(A^2)\cdot \operatorname{tr}(B^2)[/tex]
(Тук [tex]\operatorname{tr}(A^2)=\sum_{i,j}|a_{ij}|^2\ge 0[/tex] е реално число. Равенство се достига точно когато [tex]A[/tex] и [tex]B[/tex] са линейно зависими.)