Задача 1
Нека [tex]e_1, e_2[/tex] е базис на линейното пространство [tex]V[/tex], а [tex]p[/tex] е линеен оператор във [tex]V[/tex], за който [tex]p(2e_1+e_2)=e_1+3e_2[/tex] и [tex]p(e_1-e_2)=2e_1+3e_2[/tex]. Намерете [tex]p(a)[/tex], където [tex]a=2e_1-e_2[/tex].
Задача 2
Линейното изображение [tex]f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2[/tex] съпоставя на всеки вектор [tex](x; y)[/tex] вектора [tex](3x+5y; \ 4x-7y)[/tex]. Намерете матрицата на [tex]f[/tex] в базиса [tex]g_1=(2; -1)[/tex], [tex]g_2=(-1; 1)[/tex] (стълбовете ѝ са координатите на [tex]f(g_1)[/tex] и [tex]f(g_2)[/tex] в този базис).
Задача 3
В линейното пространство [tex]\mathbb{Q}^4[/tex] са дадени векторите [tex]a_1=(3; 1; 5; 4)[/tex], [tex]a_2=(12; -7; 4; 11)[/tex], [tex]a_3=(2; -3; -2; 1)[/tex] и [tex]v=(8; -1; x+6; x+7)[/tex], където [tex]x\in\mathbb{Q}[/tex]. Намерете стойността на параметъра [tex]x[/tex], при която векторът [tex]v[/tex] може да се представи по повече от един начин като линейна комбинация на [tex]a_1[/tex], [tex]a_2[/tex], [tex]a_3[/tex].
Решение:
Векторите [tex]a_1,a_2,a_3[/tex] са линейно зависими; проверяваме по координати:
[tex]2a_1-a_2+3a_3=(6-12+6; 2+7-9; 10-4-6; 8-11+3)=(0; 0; 0; 0)[/tex]
Следователно, ако [tex]v=\alpha a_1+\beta a_2+\gamma a_3[/tex], то като добавим [tex]t(2a_1-a_2+3a_3)=\vec{0}[/tex], получаваме друго представяне за всяко [tex]t\ne 0[/tex]. Значи [tex]v[/tex] или няма нито едно представяне, или има безброй много, и е достатъчно [tex]v[/tex] изобщо да е линейна комбинация. Тъй като [tex]a_2=2a_1+3a_3[/tex], това означава [tex]v=\alpha a_1+\gamma a_3[/tex] за някои числа [tex]\alpha,\gamma[/tex]. От първите две координати получаваме
[tex]\begin{cases}3\alpha+2\gamma=8\\ \alpha-3\gamma=-1\end{cases}\Rightarrow \alpha=2,\ \gamma=1[/tex]
Тогава трябва да съвпадат и третата и четвъртата координата:
[tex]5\cdot 2-2\cdot 1=8=x+6,\quad 4\cdot 2+1\cdot 1=9=x+7\Rightarrow x=2[/tex]
При [tex]x\ne 2[/tex] векторът [tex]v[/tex] изобщо не е линейна комбинация на [tex]a_1,a_2,a_3[/tex], а при [tex]x=2[/tex] има безброй много представяния, например
[tex]v=2a_1+0\cdot a_2+a_3=0\cdot a_1+a_2-2a_3[/tex]
Задача 4
Нека [tex]W[/tex] е множеството на всички матрици от вида [tex]\begin{bmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ a_3 & a_1 & a_2 \\ a_2 & a_3 & a_1 \end{bmatrix}[/tex], където [tex]a_1,a_2,a_3\in\mathbb{R}[/tex], а [tex]U[/tex] е линейното пространство на симетричните реални матрици от ред [tex]3[/tex]. Намерете размерността на сумата [tex]U+W[/tex].
Решение:
Нека [tex]E[/tex] е единичната матрица от ред [tex]3[/tex] и
[tex]P=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix},\qquad Q=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}[/tex]
Всяка матрица от [tex]W[/tex] е равна на [tex]a_1E+a_2P+a_3Q[/tex], така че [tex]W[/tex] е линейната обвивка на [tex]E,P,Q[/tex] и е подпространство на [tex]M_3(\mathbb{R})[/tex]. Матриците [tex]E,P,Q[/tex] имат единиците си на различни места, затова са линейно независими. Симетричната матрица се определя от трите си диагонални елемента и трите елемента над диагонала. Следователно
[tex]\dim W=3,\qquad \dim U=6[/tex]
Сечение: означаваме елементите на матрицата с [tex]m_{ij}[/tex]. Матрица от [tex]W[/tex] е симетрична точно когато
[tex]m_{12}=m_{21},\ m_{13}=m_{31},\ m_{23}=m_{32}\iff a_2=a_3,\ a_3=a_2,\ a_2=a_3\iff a_2=a_3[/tex]
Следователно [tex]U\cap W[/tex] се състои от матриците [tex]a_1E+a_2(P+Q)[/tex]; тъй като [tex]E[/tex] и [tex]P+Q[/tex] са линейно независими, [tex]\dim(U\cap W)=2[/tex]. По формулата на Грасман
[tex]\dim(U+W)=\dim U+\dim W-\dim(U\cap W)=6+3-2=7[/tex]
Задача 5
В линейното пространство [tex]\mathbb{R}_2[x][/tex] на полиномите с реални коефициенти от степен не по-висока от [tex]2[/tex] за [tex]P=a_2x^2+a_1x+a_0[/tex] и [tex]Q=b_2x^2+b_1x+b_0[/tex] е зададено скаларното произведение [tex](P,Q)=4a_0b_0+(a_1+a_2)b_1+(a_1+2a_2)b_2[/tex]. Намерете косинуса на ъгъла между полиномите [tex]P_1=x^2+x[/tex] и [tex]Q_1=-x^2+x-1[/tex].
Решение:
Формулата наистина задава скаларно произведение. Тя е линейна по всеки аргумент, а след разкриване на скобите се вижда, че е симетрична относно [tex]P[/tex] и [tex]Q[/tex]:
[tex](P,Q)=4a_0b_0+a_1b_1+a_2b_1+a_1b_2+2a_2b_2[/tex]
Освен това при [tex]P\ne 0[/tex]
[tex](P,P)=4a_0^2+a_1^2+2a_1a_2+2a_2^2=4a_0^2+(a_1+a_2)^2+a_2^2\gt 0[/tex]
За [tex]P_1[/tex] имаме [tex]a_2=1,\ a_1=1,\ a_0=0[/tex], а за [tex]Q_1[/tex] — [tex]b_2=-1,\ b_1=1,\ b_0=-1[/tex]. Следователно
[tex](P_1,Q_1)=4\cdot 0\cdot (-1)+(1+1)\cdot 1+(1+2)\cdot (-1)=-1[/tex]
[tex](P_1,P_1)=4\cdot 0^2+(1+1)^2+1^2=5,\qquad (Q_1,Q_1)=4\cdot (-1)^2+(1-1)^2+(-1)^2=5[/tex]
Следователно за косинуса на ъгъла [tex]\varphi[/tex] между тях получаваме
[tex]\cos\varphi=\frac{(P_1,Q_1)}{\sqrt{(P_1,P_1)}\cdot \sqrt{(Q_1,Q_1)}}=\frac{-1}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}}=-\frac{1}{5}[/tex]
(С обичайното скаларно произведение на векторите от коефициентите погрешно би се получило [tex]0[/tex].)
Задача 6
В линейното пространство [tex]\mathbb{R}_3[x][/tex] на полиномите с реални коефициенти от степен не по-висока от [tex]3[/tex] е зададено преобразуването [tex]f(p(x))=p(x+1)-p(x)[/tex]. Намерете ранга на [tex]f[/tex], т.е. размерността на образа [tex]\operatorname{Im} f[/tex].
Решение:
Преобразуването [tex]f[/tex] изобразява [tex]\mathbb{R}_3[x][/tex] в себе си (степента не се увеличава) и е линейно:
[tex](\alpha p+\beta q)(x+1)-(\alpha p+\beta q)(x)=\alpha\left(p(x+1)-p(x)\right)+\beta\left(q(x+1)-q(x)\right)[/tex]
Образи на базиса [tex]1,x,x^2,x^3[/tex]:
[tex]f(1)=0,\quad f(x)=1,\quad f(x^2)=2x+1,\quad f(x^3)=3x^2+3x+1[/tex]
Образът е линейната обвивка на тези образи, т.е. на полиномите [tex]1[/tex], [tex]2x+1[/tex], [tex]3x^2+3x+1[/tex]. Те са от различни степени [tex]0[/tex], [tex]1[/tex] и [tex]2[/tex], следователно са линейно независими и образуват базис на [tex]\operatorname{Im} f[/tex]:
[tex]\operatorname{rank} f=\dim\operatorname{Im} f=3\qquad\left(\operatorname{Im} f=\mathbb{R}_2[x]\right)[/tex]
Проверка с теоремата за ранга и дефекта: ако [tex]p\in\ker f[/tex], то [tex]p(x+1)=p(x)[/tex], откъдето [tex]p(k)=p(0)[/tex] за всички цели [tex]k\ge 0[/tex]. Тогава полиномът [tex]p(x)-p(0)[/tex] има безброй много корени, значи е нулевият полином и [tex]p[/tex] е константа. Следователно
[tex]\dim\ker f=1,\qquad \dim\operatorname{Im} f=\dim\mathbb{R}_3[x]-\dim\ker f=4-1=3[/tex]
Меню
Лесни
Висша математика